Seja ( X1, ldots, Xn ) de uma população X sim f(x|theta). encontre a distribuição da média amostral (barX), quando:
Se X tem distribuição de Poisson;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a distribuição da média amostral barX quando temos uma população que segue uma distribuição de Poisson. Então, estamos lidando com estatística, mais especificamente com distribuições de probabilidade. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como funciona a distribuição de Poisson e como a média de várias observações dessa distribuição se comporta.

Passo 2

Primeiro, é importante saber que a distribuição de Poisson é usada para modelar o número de eventos que acontecem em um intervalo fixo de tempo ou espaço, quando esses eventos ocorrem com uma taxa constante e de forma independente. A função de probabilidade da Poisson é dada por:
P(X = k) = lambda^k e^-lambdak!, k = 0, 1, 2, ldots
onde lambda é a taxa média de ocorrência dos eventos.

Passo 3

Agora, uma propriedade bem útil da distribuição de Poisson é que a soma de variáveis aleatórias independentes que seguem Poisson também segue uma distribuição de Poisson. Ou seja, se temos X1, X2, ldots, Xn cada uma com distribuição Poisson(lambda), então a soma S = X1 + X2 + ldots + Xn também é Poisson(nlambda).

Passo 4

A média amostral barX é simplesmente a soma das observações dividida pelo número de observações n:
barX = Sn
Como S segue uma distribuição de Poisson(nlambda), estamos basicamente olhando para a distribuição de uma variável Poisson escalada por 1/n.

Passo 5

Aqui vem um ponto interessante: a distribuição exata da média amostral barX não é mais uma distribuição de Poisson padrão devido à escala. No entanto, quando n é grande, podemos aplicar o Teorema Central do Limite. Esse teorema nos diz que a soma (ou a média) de muitas variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas tende a seguir uma distribuição normal, independentemente da distribuição original das variáveis.
Então, para n grande, a média amostral barX aproximadamente segue uma distribuição normal com média lambda e variância lambda/n.

Resposta

A média amostral barX aproximadamente segue uma distribuição normal:
barX sim N(lambda, dfraclambdan)

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