Seja
de uma população
. encontre a distribuição da média amostral
, quando:
Se
tem distribuição de Poisson;
Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a distribuição da média amostral
quando temos uma população que segue uma distribuição de Poisson. Então, estamos lidando com estatística, mais especificamente com distribuições de probabilidade. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como funciona a distribuição de Poisson e como a média de várias observações dessa distribuição se comporta.
Passo 2
Primeiro, é importante saber que a distribuição de Poisson é usada para modelar o número de eventos que acontecem em um intervalo fixo de tempo ou espaço, quando esses eventos ocorrem com uma taxa constante e de forma independente. A função de probabilidade da Poisson é dada por:
onde
é a taxa média de ocorrência dos eventos.
Passo 3
Agora, uma propriedade bem útil da distribuição de Poisson é que a soma de variáveis aleatórias independentes que seguem Poisson também segue uma distribuição de Poisson. Ou seja, se temos
cada uma com distribuição
, então a soma
também é
.
Passo 4
A média amostral
é simplesmente a soma das observações dividida pelo número de observações
:
Como
segue uma distribuição de
, estamos basicamente olhando para a distribuição de uma variável Poisson escalada por
.
Passo 5
Aqui vem um ponto interessante: a distribuição exata da média amostral
não é mais uma distribuição de Poisson padrão devido à escala. No entanto, quando
é grande, podemos aplicar o Teorema Central do Limite. Esse teorema nos diz que a soma (ou a média) de muitas variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas tende a seguir uma distribuição normal, independentemente da distribuição original das variáveis.
Então, para
grande, a média amostral
aproximadamente segue uma distribuição normal com média
e variância
.
Resposta
A média amostral
aproximadamente segue uma distribuição normal: