Sejam
uma amostra aleatória da variável aleatória
tem distribuição de Bernoulli:
.
Mostre que
é suficiente para
;
Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos dá uma amostra aleatória de duas variáveis, $ X_1 $ e $ X_2 $, que seguem a distribuição de Bernoulli. A função de probabilidade é $ f(x|\theta) = \theta{x}(1-\theta){1-x} $, onde $ x $ pode ser 0 ou 1, e $ \theta $ está entre 0 e 1. A gente precisa mostrar que $ T = X_1 + X_2 $ é suficiente para $ \theta $. Para isso, vamos usar o Teorema da Fatoração, que nos ajuda a identificar estatísticas suficientes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma estatística ser suficiente. Uma estatística $ T(X) $ é suficiente para o parâmetro $ \theta $ se, toda a informação sobre $ \theta $ contida nos dados $ X $ estiver também em $ T(X) $. O Teorema da Fatoração nos diz que se a função de verossimilhança puder ser escrita como um produto de duas funções, onde uma depende apenas de $ T(X) $ e $ \theta $, e a outra depende apenas dos dados, então $ T(X) $ é suficiente para $ \theta $.
Passo 3
Vamos escrever a função de verossimilhança conjunta para $ X_1 $ e $ X_2 $. Como são variáveis independentes, a verossimilhança conjunta é o produto das verossimilhanças individuais:
Passo 4
Agora, vamos simplificar essa expressão:
onde $ T = X_1 + X_2 $.
Passo 5
Observamos que a verossimilhança pode ser escrita como:
Aqui, a primeira parte $ \theta^{T} (1-\theta)^{2 - T} $ depende apenas de $ T $ e $ \theta $, e a segunda parte é apenas uma constante em relação a $ \theta $. Segundo o Teorema da Fatoração, isso significa que $ T $ é uma estatística suficiente para $ \theta $.
Resposta
$ T = X_{1} + X_{2} $ é uma estatística suficiente para $ \theta $.