Seja X1, X2, ldots Xn uma amostra i.i.d. de uma Bernoulli (p).
Obtenha o limite inferior de Cramér-Rao no que toca à estimação de p.

Passo 1

Beleza, então o que a questão pede é: temos uma amostra independente e identicamente distribuída (i.i.d.) Var(hat p);>=;1In(p) de uma Bernoulli de parâmetro (ou seja, cada vale 1 com probabilidade e 0 com probabilidade ), e precisamos achar o limite inferior de Cramér–Rao para estimar .
Conteúdo: teoria de estimação, informação de Fisher e limite de Cramér–Rao.
O que vamos usar:
• Definição da função de massa de probabilidade de uma Bernoulli.
• Log-verossimilhança, score e segunda derivada.
• Fórmula da informação de Fisher e a forma do CRLB:

Passo 2

Primeiro escrevemos a verossimilhança conjunta dos dados. Para cada f(Xi;p) ;=; p^Xi,(1-p)^1-Xi, Xiin0,1 temos
L(p) ;=;prodi=1^n p^Xi(1-p)^1-Xi ;=; p^sumi Xi,(1-p)^,n-sumi Xi
Como são i.i.d., a verossimilhança é
ell(p) ;=;log L(p) = l(sumi=1^n Xir)log p ;+;l(n-sumi=1^nXir)log(1-p)
Agora pegamos o logaritmo para facilitar derivadas:

Passo 3

Calculamos o score, que é a derivada da log-verossimilhança em relação a ell'(p) = ddpl[sumi Xilog p + (n-sumi Xi)log(1-p)r] = sumi Xip ;-;n-sumi Xi1-p :
ell''(p) = -sumi Xip^2 ;-;n-sumi Xi(1-p)^2
Depois calculamos a segunda derivada:

Passo 4

A informação de Fisher de toda a amostra é
In(p) = -El[ell''(p)r]
Como In(p) = -l[-E[sumi Xi]p^2 -n-E[sumi Xi](1-p)^2r] = n,pp^2 + n,(1-p)(1-p)^2 = np + n1-p = np(1-p) tem valor esperado , substituímos na expressão de e tomamos o sinal negativo:

Passo 5

O limite inferior de Cramér–Rao diz que, para qualquer estimador não-viesado Var(hat p);>=;1In(p) = 1,np(1-p), = p(1-p)n de ,

Resposta

O limite inferior de Cramér–Rao para estimar boxedVar(hat p);>=;p(1-p)n a partir de observações Bernoulli é

Exercícios relacionados