Seja x1, x2, ldots, xn uma amostra de tamanho n, e k uma constante não-nula. Demonstre matematicamente:
que a multiplicação de cada um dos dados por k resulta numa variância amostral multiplicada por k^2;

Passo 1

Beleza, resumo rápido do que temos aqui:
· Enunciado: temos uma amostra x1,x2,dots,xn e uma constante kneq 0. Se a gente multiplica cada xi por k, queremos mostrar que a variância amostral vira exatamente a variância original vezes k^2.
· Matéria envolvida: definição de variância amostral e propriedade de escala da variância.
· O que precisamos: entender como se calcula média amostral e variância amostral, depois aplicar álgebra simples para ver o efeito de multiplicar tudo por k.

Passo 2

Primeiro, lembra da definição de variância amostral:
  • Média amostral:
bar x ;=;1nsumi=1^n xi
- Variância amostral:
sx^2 ;=;1n-1sumi=1^nl(xi-bar xr)^2
Agora define uma nova amostra onde cada ponto é yi = k,xi. A média dessa nova amostra é
bar y ;=;1nsumi=1^n yi ;=;1nsumi=1^n k,xi ;=;k;1nsumi=1^n xi ;=;k,bar x

Passo 3

Vamos calcular a variância amostral de yi:
sy^2 =1n-1sumi=1^nl(yi-bar yr)^2 =1n-1sumi=1^nl(k,xi - k,bar xr)^2 =1n-1sumi=1^nl(k,(xi - bar x)r)^2
Como k é constante, podemos tirar ele do quadrado e da soma:
sy^2 =1n-1sumi=1^n k^2,(xi-bar x)^2 =k^2;1n-1sumi=1^n(xi-bar x)^2 =k^2,sx^2

Resposta

sy^2 ;=; k^2,sx^2

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