Seja f(x)=x+ln x que possui um zero no intervalo [0,2 ; 2]. Determine uma aproximação para tal zero com erro inferior a 10^-4, usando o Método da Posição Falsa.

Passo 1

Opa! Então o que temos aqui? A função é

e a gente quer achar o valor de que zera essa função (isto é, ) dentro do intervalo . Isso é um problema de “encontrar raízes” — conteúdo de métodos numéricos, mais precisamente o Método da Posição Falsa (ou Regula Falsi).
Para resolver, a gente vai precisar de:
  1. Saber que é contínua e que em e a função muda de sinal (garantindo existência de raiz).
  2. Aplicar a fórmula da Posição Falsa para gerar uma sequência de aproximações .
  3. Iterar até que a mudança entre duas estimativas fique abaixo de .

Passo 2

Primeiro, definimos os pontos iniciais:
a = 0{,}2 ⇒
b = 2 ⇒
Como e , temos um “prego” entre e , ou seja, há raiz nesse intervalo.

Passo 3

No Método da Posição Falsa, a gente aproxima o gráfico de xnovo = a,f(b);-;b,f(a)f(b);-;f(a) por uma reta que passa pelos pontos e , e usa a interseção dessa reta com o eixo como nova aproximação. A fórmula é:
[
x_{novo}

\frac{a,f(b);-;b,f(a)}{f(b);-;f(a)}.
]
Depois, checamos o sinal de :
  • Se for negativo, substituímos .
  • Se for positivo, trocamos .
    A cada iteração, a gente monitora e para quando for menor que .

Passo 4

Vamos iterar. Vou mostrar as aproximações principais (arredondei a 6 casas) até atingir o critério:
Iteração | | | | |
1 | 0,200000 | 2,000000 | 0,818848 | +0,6185 | —
2 | 0,200000 | 0,818848 | 0,629875 | +0,1662 | 0,1890
3 | 0,200000 | 0,629875 | 0,584900 | +0,0473 | 0,044975
4 | 0,200000 | 0,584900 | 0,572785 | +0,0166 | 0,012115
5 | 0,200000 | 0,572785 | 0,568568 | +0,0041 | 0,004217
6 | 0,200000 | 0,568568 | 0,567192 | –0,0011 | 0,001376
7 | 0,567192 | 0,568568 | 0,567986 | +0,0013 | 0,000794
8 | 0,567192 | 0,567986 | 0,567555 | +0,00012 | 0,000431
9 | 0,567192 | 0,567555 | 0,567386 | +0,00088 | 0,000169
10 | 0,567192 | 0,567386 | 0,567258 | –0,00006 | 0,000128
11 | 0,567258 | 0,567386 | 0,567319 | +0,00004 | 0,000061
Repara que na 11ª iteração a diferença .

Resposta

Uma aproximação para o zero de boxedx approx 0,56732 em , com erro abaixo de , é

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