Seja que possui um zero no intervalo . Determine uma aproximação para tal zero com erro inferior a , usando o Método da Posição Falsa.
Passo 1
Opa! Então o que temos aqui? A função é
e a gente quer achar o valor de que zera essa função (isto é, ) dentro do intervalo . Isso é um problema de “encontrar raízes” — conteúdo de métodos numéricos, mais precisamente o Método da Posição Falsa (ou Regula Falsi).
Para resolver, a gente vai precisar de:
Saber que é contínua e que em e a função muda de sinal (garantindo existência de raiz).
Aplicar a fórmula da Posição Falsa para gerar uma sequência de aproximações .
Iterar até que a mudança entre duas estimativas fique abaixo de .
Passo 2
Primeiro, definimos os pontos iniciais:
a = 0{,}2 ⇒
b = 2 ⇒
Como e , temos um “prego” entre e , ou seja, há raiz nesse intervalo.
Passo 3
No Método da Posição Falsa, a gente aproxima o gráfico de por uma reta que passa pelos pontos e , e usa a interseção dessa reta com o eixo como nova aproximação. A fórmula é:
[
x_{novo}
\frac{a,f(b);-;b,f(a)}{f(b);-;f(a)}.
]
Depois, checamos o sinal de :
Se for negativo, substituímos .
Se for positivo, trocamos .
A cada iteração, a gente monitora e para quando for menor que .
Passo 4
Vamos iterar. Vou mostrar as aproximações principais (arredondei a 6 casas) até atingir o critério: