Seja Y com distribuição binomial de parâmetros n=10 e p=0,4. Determine a aproximação normal para:
P(Y>7)

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos uma variável aleatória Y com distribuição binomial de parâmetros n=10 e p=0,4, e a gente quer aproximar
P(Y>7),
O conteúdo aqui é “aproximação da binomial por uma normal”. Para isso, vamos precisar:
1. Calcular a média mu e o desvio padrão sigma da binomial.
2. Usar correção de continuidade (porque binomial é discreta e normal é contínua).
3. Padronizar e buscar na tabela da normal padrão.

Passo 2

Primeiro, observe que
P(Y>7)=P(Y>=8),
Quando a gente passa pra normal, a ideia é aproximar YsimBin(10,0.4) por uma Xsim N(mu,sigma^2). A teoria diz que
mu = np, sigma=raiznp(1-p)

Passo 3

Vamos calcular mu e sigma bem de boa:
mu = 10times 0.4 = 4,
sigma = raiz10times 0.4times 0.6=raiz2.4approx1,549
Aqui explicando: np(1-p) é a variância da binomial, e a raiz disso é o desvio padrão.

Passo 4

Como Y é discreta, a gente faz correção de continuidade:
P(Y>=8)approx Pl(X>=7,5r),
ou seja, em vez de 8, usamos 7,5 no contínuo para “pegar” a partir de 8.

Passo 5

Agora padroniza:
Z=X-musigmasim N(0,1) ,
então
$$P(X\ge7{,}5)=P!\Bigl(Z\ge\frac{7{,}5-4}{1{,}549}\Bigr)
= P\bigl(Z\ge2{,}259\bigr). P(X>=7,5)=P!l(Z>=7,5-41,549r) = Pl(Z>=2,259r)ããP(Z\ge2{,}259)=1-\Phi(2{,}259)\approx1-0,9881=0,0119.$$

Resposta

A aproximação normal para P(Y>7) é aproximadamente 0,0119,.

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