Supondo que as amplitudes de vida de dois aparelhos elétricos, D1, D2 tenham distribuições N(42,36) e e N(45,9), respectivamente. Se os aparelhos são feitos para serem usados por um período de 45 horas, qual aparelho deve ser preferido? E se for por um período de 49 horas? (Resposta: P(D1>45)=0,31 ; P(D2>45)=0,5 e P(D1>49)=0,121 ; P(D2>49)=0,092)

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos duas “vidas” de aparelho elétrico:
  • D₁ ~ N(42, 36) (ou seja, média μ₁=42 e variância σ₁²=36, logo σ₁=6)
  • D₂ ~ N(45, 9) (média μ₂=45 e variância σ₂²=9, logo σ₂=3)
A pergunta é: se você usa o aparelho por 45 horas, qual tem mais chance de durar além desse tempo? E se for por 49 horas?
Conteúdo usado: distribuição normal, padronização (transformar em Z), função de distribuição acumulada (Φ), e tabela da normal padrão.

Passo 2

Primeiro, lembre que para qualquer X ~ N(μ, σ²), a probabilidade de X passar de um tempo t é
P(X > t) = 1 – Φ\bigl((t – μ)/σ\bigr),
onde Φ(z) = P(Z ≤ z) e Z ~ N(0, 1). A gente “padroniza” X subtraindo a média e dividindo pelo desvio padrão.

Passo 3

Vamos fazer isso para D₁ quando t = 45:
  1. σ₁ = √36 = 6
  2. z₁ = (45 – μ₁)/σ₁ = (45 – 42)/6 = 3/6 = 0.5
  3. Pela tabela da normal padrão, Φ(0.5) ≈ 0.6915
  4. Logo P(D₁ > 45) = 1 – 0.6915 = 0.3085 ≈ 0.31

Passo 4

Agora para D₂ em t = 45:
  1. σ₂ = √9 = 3
  2. z₂ = (45 – μ₂)/σ₂ = (45 – 45)/3 = 0
  3. Φ(0) = 0.5
  4. P(D₂ > 45) = 1 – 0.5 = 0.5
Comparando 0.31 vs. 0.5, fica claro que, se você quer algo que dure além de 45 h, o D₂ é melhor.

Passo 5

Repetindo para t = 49 horas:
Para D₁:
  1. z₁’ = (49 – 42)/6 = 7/6 ≈ 1.1667
  2. Φ(1.1667) ≈ 0.8786
  3. P(D₁ > 49) = 1 – 0.8786 = 0.1214 ≈ 0.121
Para D₂:
  1. z₂’ = (49 – 45)/3 = 4/3 ≈ 1.3333
  2. Φ(1.3333) ≈ 0.9082
  3. P(D₂ > 49) = 1 – 0.9082 = 0.0918 ≈ 0.092
Agora 0.121 vs. 0.092, então para passar de 49 h o D₁ é a melhor opção.

Resposta

  • Para 45 horas: prefira o aparelho 2 (P(D₂>45)=0.50 > P(D₁>45)=0.31).
  • Para 49 horas: prefira o aparelho 1 (P(D₁>49)=0.121 > P(D₂>49)=0.092).

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