Supondo que as amplitudes de vida de dois aparelhos elétricos,
tenham distribuições
e e
, respectivamente. Se os aparelhos são feitos para serem usados por um período de 45 horas, qual aparelho deve ser preferido? E se for por um período de 49 horas? (Resposta:
e
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos duas “vidas” de aparelho elétrico:
- D₁ ~ N(42, 36) (ou seja, média μ₁=42 e variância σ₁²=36, logo σ₁=6)
- D₂ ~ N(45, 9) (média μ₂=45 e variância σ₂²=9, logo σ₂=3)
A pergunta é: se você usa o aparelho por 45 horas, qual tem mais chance de durar além desse tempo? E se for por 49 horas?
Conteúdo usado: distribuição normal, padronização (transformar em Z), função de distribuição acumulada (Φ), e tabela da normal padrão.
Conteúdo usado: distribuição normal, padronização (transformar em Z), função de distribuição acumulada (Φ), e tabela da normal padrão.
Passo 2
Primeiro, lembre que para qualquer X ~ N(μ, σ²), a probabilidade de X passar de um tempo t é
P(X > t) = 1 – Φ\bigl((t – μ)/σ\bigr),
onde Φ(z) = P(Z ≤ z) e Z ~ N(0, 1). A gente “padroniza” X subtraindo a média e dividindo pelo desvio padrão.
P(X > t) = 1 – Φ\bigl((t – μ)/σ\bigr),
onde Φ(z) = P(Z ≤ z) e Z ~ N(0, 1). A gente “padroniza” X subtraindo a média e dividindo pelo desvio padrão.
Passo 3
Vamos fazer isso para D₁ quando t = 45:
- σ₁ = √36 = 6
- z₁ = (45 – μ₁)/σ₁ = (45 – 42)/6 = 3/6 = 0.5
- Pela tabela da normal padrão, Φ(0.5) ≈ 0.6915
- Logo P(D₁ > 45) = 1 – 0.6915 = 0.3085 ≈ 0.31
Passo 4
Agora para D₂ em t = 45:
- σ₂ = √9 = 3
- z₂ = (45 – μ₂)/σ₂ = (45 – 45)/3 = 0
- Φ(0) = 0.5
- P(D₂ > 45) = 1 – 0.5 = 0.5
Comparando 0.31 vs. 0.5, fica claro que, se você quer algo que dure além de 45 h, o D₂ é melhor.
Passo 5
Repetindo para t = 49 horas:
Para D₁:
- z₁’ = (49 – 42)/6 = 7/6 ≈ 1.1667
- Φ(1.1667) ≈ 0.8786
- P(D₁ > 49) = 1 – 0.8786 = 0.1214 ≈ 0.121
Para D₂:
- z₂’ = (49 – 45)/3 = 4/3 ≈ 1.3333
- Φ(1.3333) ≈ 0.9082
- P(D₂ > 49) = 1 – 0.9082 = 0.0918 ≈ 0.092
Agora 0.121 vs. 0.092, então para passar de 49 h o D₁ é a melhor opção.
Resposta
- Para 45 horas: prefira o aparelho 2 (P(D₂>45)=0.50 > P(D₁>45)=0.31).
- Para 49 horas: prefira o aparelho 1 (P(D₁>49)=0.121 > P(D₂>49)=0.092).