Seja y=y1(x) uma solução de
y^prime+p(x) y=0
e seja y=y2(x) uma solução de
y^prime+p(x) y=q(x)
Mostrar que y=y1(x)+y2(x) também é solução de (2).
(a) Mostrar que phi(x)=e^2 x é solução de y^prime-2 y=0 e que y=c phi(x) também é solução desta equação para qualquer valor da constante c.

Passo 1

Ok, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas equações diferenciais:
  1. $ y’ + p(x)y = 0 $ com solução $ y = y_1(x) $.
  2. $ y’ + p(x)y = q(x) $ com solução $ y = y_2(x) $.
    Queremos mostrar que a soma dessas soluções, $ y = y_1(x) + y_2(x) $, também resolve a segunda equação. Além disso, na parte (a), precisamos verificar que $ \phi(x) = e^{2x} $ é solução de $ y’ - 2y = 0 $ e que qualquer múltiplo dessa função também é solução.

Passo 2

Vamos começar mostrando que $ y = y_1(x) + y_2(x) $ é solução da segunda equação. Para isso, precisamos substituir $ y $ na equação $ y’ + p(x)y = q(x) $ e verificar se a igualdade se mantém.

Passo 3

Calculamos a derivada de $ y $:
y
Agora, substituímos $ y $ e $ y’ $ na equação:
y' = y1'(x) + y2'(x)

Passo 4

Vamos separar os termos:
[y1'(x) + p(x)y1(x)] + [y2'(x) + p(x)y2(x)] = q(x)
Sabemos pelas equações originais que:
y1'(x) + p(x)y1(x) = 0
y2'(x) + p(x)y2(x) = q(x)
Substituindo essas igualdades:
0 + q(x) = q(x)
A igualdade se confirma, o que mostra que $ y = y_1(x) + y_2(x) $ é realmente uma solução da segunda equação.

Passo 5

Agora, vamos para a parte (a). Precisamos mostrar que $ \phi(x) = e^{2x} $ é solução de $ y’ - 2y = 0 $ e que qualquer múltiplo dessa função também é solução.

Passo 6

Primeiro, calculamos a derivada de $ \phi(x) $:
phi(x)
Substituímos $ \phi(x) $ e $ \phi’(x) $ na equação:
phi'(x) = ddxe^2x = 2e^2x
Portanto, $ \phi(x) $ satisfaz a equação $ y’ - 2y = 0 $.

Passo 7

Agora, vamos considerar $ y = c\phi(x) = ce^{2x} $, onde $ c $ é uma constante. Calculamos a derivada:
y = cphi(x) = ce^2x
Substituímos $ y $ e $ y’ $ na equação:
c
Isso mostra que qualquer múltiplo de $ \phi(x) $ também é solução da equação.

Resposta

Demonstramos que $ y = y_1(x) + y_2(x) $ é solução da equação $ y’ + p(x)y = q(x) $ e que $ \phi(x) = e^{2x} $ juntamente com qualquer múltiplo $ y = c e^{2x} $ satisfaz a equação $ y’ - 2y = 0 $.

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