Seja
uma solução de
e seja
uma solução de
Mostrar que
também é solução de (2).
(a) Mostrar que
é solução de
e que
também é solução desta equação para qualquer valor da constante
.
(a) Mostrar que
Passo 1
Ok, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas equações diferenciais:
- $ y’ + p(x)y = 0 $ com solução $ y = y_1(x) $.
- $ y’ + p(x)y = q(x) $ com solução $ y = y_2(x) $.
Queremos mostrar que a soma dessas soluções, $ y = y_1(x) + y_2(x) $, também resolve a segunda equação. Além disso, na parte (a), precisamos verificar que $ \phi(x) = e^{2x} $ é solução de $ y’ - 2y = 0 $ e que qualquer múltiplo dessa função também é solução.
Passo 2
Vamos começar mostrando que $ y = y_1(x) + y_2(x) $ é solução da segunda equação. Para isso, precisamos substituir $ y $ na equação $ y’ + p(x)y = q(x) $ e verificar se a igualdade se mantém.
Passo 3
Calculamos a derivada de $ y $:
Agora, substituímos $ y $ e $ y’ $ na equação:
Passo 4
Vamos separar os termos:
Sabemos pelas equações originais que:
Substituindo essas igualdades:
A igualdade se confirma, o que mostra que $ y = y_1(x) + y_2(x) $ é realmente uma solução da segunda equação.
Passo 5
Agora, vamos para a parte (a). Precisamos mostrar que $ \phi(x) = e^{2x} $ é solução de $ y’ - 2y = 0 $ e que qualquer múltiplo dessa função também é solução.
Passo 6
Primeiro, calculamos a derivada de $ \phi(x) $:
Substituímos $ \phi(x) $ e $ \phi’(x) $ na equação:
Portanto, $ \phi(x) $ satisfaz a equação $ y’ - 2y = 0 $.
Passo 7
Agora, vamos considerar $ y = c\phi(x) = ce^{2x} $, onde $ c $ é uma constante. Calculamos a derivada:
Substituímos $ y $ e $ y’ $ na equação:
Isso mostra que qualquer múltiplo de $ \phi(x) $ também é solução da equação.
Resposta
Demonstramos que $ y = y_1(x) + y_2(x) $ é solução da equação $ y’ + p(x)y = q(x) $ e que $ \phi(x) = e^{2x} $ juntamente com qualquer múltiplo $ y = c e^{2x} $ satisfaz a equação $ y’ - 2y = 0 $.