Seja z=x^2+y. Considere S a superfície formada pelo gráfico de z=f(x, y) sobre o quadrado unitário no plano-xy. Seja F(x, y, z)=z i+x k Encontre o fluxo (de baixo para cima) de F através de S.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo (orientado de baixo para cima) de F(x,y,z)=z,i+x,k através da superfície S dada pelo gráfico de z=f(x,y)=x^2+y sobre o quadrado unitário [0,1]times[0,1]. Vamos usar a fórmula de integral de superfície para gráficos z=f(x,y).

Passo 2

Para gráficos z=f(x,y) com orientação para cima, o vetor elemento de área é
n,dS = l(-fx,,-fy,,1r),dA
Aqui
fx=partialpartial x(x^2+y)=2x, fy=partialpartial y(x^2+y)=1
Logo
n,dS = (-2x,,-1,,1),dA

Passo 3

Substituindo z=f(x,y)=x^2+y em F e fazendo o produto escalar:
F(x,y,f(x,y))=(x^2+y,,0,,x),
então
Fcdot(n,dS)= (x^2+y)(-2x)+0cdot(-1)+xcdot1 = -2x^3-2xy+x

Passo 4

Agora integramos sobre o quadrado unitário:
integral duplaS Fcdot dS = integral0^1integral0^1l(-2x^3-2xy+xr),dy,dx
Primeiro em y:
integral0^1(-2x^3-2xy+x),dy = -2x^3cdot1 -2xcdot1^22 + xcdot1 = -2x^3 -x + x = -2x^3
Em seguida em x:
integral0^1 -2x^3,dx = -2 cdot x^44|0^1 = -tfrac12

Resposta

-tfrac12

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