Quais das sentenças a seguir são verdadeiras para quaisquer conjuntos
e
?
(a)
(b)
(c)
, para todo
(d)
, para todo
(e)
, para todo
(f)
, para todo
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar quais das sentenças sobre conjuntos
e
são sempre verdadeiras. Vamos precisar entender conceitos básicos de teoria dos conjuntos, como conjunto vazio, subconjunto, união e interseção. Vamos analisar cada letra uma por uma.
Passo 2
Começando pela letra (a):
. Aqui,
é um conjunto que contém o conjunto vazio como elemento, enquanto
é simplesmente o conjunto vazio. Claro que um conjunto que tem algo dentro dele não é igual ao conjunto vazio que não tem nada. Então, essa sentença não é verdadeira.
Passo 3
Agora, a letra (b):
. Isso quer dizer que o conjunto vazio está dentro do conjunto que contém apenas o conjunto vazio. Sim, exatamente! O conjunto vazio é um elemento de
. Portanto, essa sentença é verdadeira.
Passo 4
Seguimos para a letra (c):
para todo
.
significa que todo elemento do conjunto vazio está dentro de
. Como o conjunto vazio não tem elementos, essa condição é sempre verdadeira para qualquer conjunto
. Então, essa sentença é verdadeira.
Passo 5
Vamos para a letra (d):
para todo
. Isso quer dizer que o conjunto vazio está sempre dentro de qualquer conjunto
. Mas isso não é verdade! Por exemplo, se
,
não está nele. Portanto, essa sentença não é verdadeira.
Passo 6
A letra (e):
para todo
. A interseção de
com o conjunto vazio sempre resulta no conjunto vazio, porque não há elementos comuns entre qualquer conjunto e o conjunto vazio. Então, essa sentença é verdadeira.
Passo 7
Finalmente, a letra (f):
para todo
. A união de
com o conjunto vazio é apenas
, já que não estamos adicionando nada ao conjunto original. Portanto, essa sentença é verdadeira.
Resposta
As sentenças (b), (c), (e) e (f) são verdadeiras para quaisquer conjuntos
e
.