Quais das sentenças a seguir são verdadeiras para quaisquer conjuntos A, B e C ?
(a) varnothing=varnothing
(b) varnothing invarnothing
(c) varnothing subseteq A, para todo A
(d) varnothing in A, para todo A
(e) A cap varnothing=varnothing, para todo A
(f) A cup varnothing=A, para todo A

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar quais das sentenças sobre conjuntos A, B e C são sempre verdadeiras. Vamos precisar entender conceitos básicos de teoria dos conjuntos, como conjunto vazio, subconjunto, união e interseção. Vamos analisar cada letra uma por uma.

Passo 2

Começando pela letra (a): varnothing = varnothing. Aqui, varnothing é um conjunto que contém o conjunto vazio como elemento, enquanto varnothing é simplesmente o conjunto vazio. Claro que um conjunto que tem algo dentro dele não é igual ao conjunto vazio que não tem nada. Então, essa sentença não é verdadeira.

Passo 3

Agora, a letra (b): varnothing in varnothing. Isso quer dizer que o conjunto vazio está dentro do conjunto que contém apenas o conjunto vazio. Sim, exatamente! O conjunto vazio é um elemento de varnothing. Portanto, essa sentença é verdadeira.

Passo 4

Seguimos para a letra (c): varnothing subseteq A para todo A . varnothing subseteq A significa que todo elemento do conjunto vazio está dentro de A . Como o conjunto vazio não tem elementos, essa condição é sempre verdadeira para qualquer conjunto A . Então, essa sentença é verdadeira.

Passo 5

Vamos para a letra (d): varnothing in A para todo A . Isso quer dizer que o conjunto vazio está sempre dentro de qualquer conjunto A . Mas isso não é verdade! Por exemplo, se A = 1, 2, 3 , varnothing não está nele. Portanto, essa sentença não é verdadeira.

Passo 6

A letra (e): A cap varnothing = varnothing para todo A . A interseção de A com o conjunto vazio sempre resulta no conjunto vazio, porque não há elementos comuns entre qualquer conjunto e o conjunto vazio. Então, essa sentença é verdadeira.

Passo 7

Finalmente, a letra (f): A cup varnothing = A para todo A . A união de A com o conjunto vazio é apenas A , já que não estamos adicionando nada ao conjunto original. Portanto, essa sentença é verdadeira.

Resposta

As sentenças (b), (c), (e) e (f) são verdadeiras para quaisquer conjuntos A, B e C .

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