Sejam f(x)=2 x^{3}-5 x^{2}+1, g(x)=x^{5}-x^{4}+x^{3}-2 x-3, h(x)=2 x^{3}-2 x^{2}-x+2, r(x)=-2 x^{3}+3 x^{2}+5 x-3 e s(x)=-x^{2}+x-3. Efetue a operação e dê o grau dos resultados não identicamente nulos:
x^{2} \cdot f(x)-g(x)+x \cdot h(x)

Passo 1

O enunciado dá os polinômios
f(x)=2x^{3}-5x^{2}+1,\quad g(x)=x^{5}-x^{4}+x^{3}-2x-3,\quad h(x)=2x^{3}-2x^{2}-x+2
e pede para calcular
x^{2}f(x)-g(x)+x\,h(x)
usando operações de multiplicação e soma/subtração de polinômios, e então encontrar o grau do resultado não nulo.

Passo 2

Multiplicamos f(x) por x^{2}:
x^{2}f(x)=x^{2}\bigl(2x^{3}-5x^{2}+1\bigr) =2x^{5}-5x^{4}+x^{2}.

Passo 3

Multiplicamos h(x) por x:
x\,h(x)=x\bigl(2x^{3}-2x^{2}-x+2\bigr) =2x^{4}-2x^{3}-x^{2}+2x.

Passo 4

Agora montamos a expressão completa:
x^{2}f(x)-g(x)+x\,h(x) =\bigl(2x^{5}-5x^{4}+x^{2}\bigr) -\bigl(x^{5}-x^{4}+x^{3}-2x-3\bigr) +\bigl(2x^{4}-2x^{3}-x^{2}+2x\bigr).

Passo 5

Agrupando os termos semelhantes em potências de x:
\begin{aligned} x^{5}:&\;2x^{5}-x^{5}=x^{5},\\\ x^{4}:&\;-5x^{4}-(-x^{4})+2x^{4}=-5x^{4}+x^{4}+2x^{4}=-2x^{4},\\\ x^{3}:&\;0-\,x^{3}-2x^{3}=-3x^{3},\\\ x^{2}:&\;x^{2}-0-\,x^{2}=0,\\\ x^{1}:&\;0-(-2x)+2x=4x,\\\ x^{0}:&\;0-(-3)+0=3. \end{aligned}
Logo o polinômio resultante é
x^{5}-2x^{4}-3x^{3}+4x+3.

Passo 6

O grau do polinômio não nulo resultante é o maior expoente com coeficiente diferente de zero, que aqui é 5.

Resposta

O resultado da operação é
x^{5}-2x^{4}-3x^{3}+4x+3
e o grau é 5.

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