Sejam f(x)=2 x^{3}-5 x^{2}+1, g(x)=x^{5}-x^{4}+x^{3}-2 x-3, h(x)=2 x^{3}-2 x^{2}-x+2, r(x)=-2 x^{3}+3 x^{2}+5 x-3 e s(x)=-x^{2}+x-3. Efetue a operação e dê o grau dos resultados não identicamente nulos:
g(x)+\left(3-2 x^{2}\right) \cdot h(x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
g(x)+(3-2x^2)\,h(x)
onde g(x)=x^5 - x^4 + x^3 -2x -3
e h(x)=2x^3 -2x^2 -x +2.
O conteúdo usado é multiplicação de polinômios (distributiva) e soma de polinômios (combinação de termos semelhantes).

Passo 2

Escrevemos
(3-2x^2)\,h(x)=3\,h(x)\;-\;2x^2\,h(x)
para depois calcular cada parte separadamente.

Passo 3

Calculemos as duas parcelas:
3\,h(x)=3\,(2x^3 -2x^2 -x +2)=6x^3 -6x^2 -3x +6
-2x^2\,h(x)=-2x^2\,(2x^3 -2x^2 -x +2)=-4x^5 +4x^4 +2x^3 -4x^2

Passo 4

Somando as parcelas obtemos
(3-2x^2)\,h(x) = -4x^5 +4x^4 + (6x^3+2x^3) - (6x^2+4x^2) -3x +6
ou seja,
-4x^5 +4x^4 +8x^3 -10x^2 -3x +6.

Passo 5

Agora adicionamos g(x):
g(x)+(3-2x^2)\,h(x) = (x^5 -x^4 +x^3 -2x -3) +(-4x^5 +4x^4 +8x^3 -10x^2 -3x +6).

Passo 6

Combine termos semelhantes:
\begin{aligned} x^5+(-4x^5)&=-3x^5,\\\ (-x^4)+(4x^4)&=3x^4,\\\ x^3+8x^3&=9x^3,\\\\ 0x^2-10x^2&=-10x^2,\\\ (-2x)+(-3x)&=-5x,\\\ (-3)+6&=3. \end{aligned}
Logo o polinômio final é
-3x^5 +3x^4 +9x^3 -10x^2 -5x +3.

Passo 7

Esse polinômio não é identicamente nulo e o termo de maior grau é -3x^5. Portanto, o grau do resultado é 5.

Resposta

O resultado da operação é
-3x^5 +3x^4 +9x^3 -10x^2 -5x +3,
e seu grau é 5.

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