Sejam W1=(x, y, z) mid x=z e W2=(x, y, z) mid x+y+3 z=0
(10) Verifique se W1 é subespaço vetorial e calcule dim W1

Passo 1

O enunciado define W1=(x,y,z)mid x=zsubsetR^3. Precisamos verificar se W1 satisfaz as três condições de subespaço vetorial em R^3 (contém o vetor zero, fechado sob soma e fechado sob multiplicação escalar) e depois determinar dim W1.

Passo 2

Verificação de subespaço:
O vetor zero (0,0,0) satisfaz 0=0 e portanto pertence a W1. Sejam (x1,y1,z1) e (x2,y2,z2) em W1, então x1=z1 e x2=z2. A soma é
(x1,y1,z1)+(x2,y2,z2)=(x1+x2,,y1+y2,,z1+z2)
e tem
x1+x2=z1+z2,
logo a soma pertence a W1. Para qualquer escalar alphainR,
alpha,(x1,y1,z1)=(alpha x1,,alpha y1,,alpha z1)
e como alpha x1=alpha z1 esse vetor também está em W1. Portanto W1 é subespaço vetorial.

Passo 3

Para calcular dim W1 escrevemos um elemento genérico de W1 como
(x,y,z)=(t,y,t)=t,(1,0,1)+y,(0,1,0),
onde t=x e y são parâmetros reais. Os vetores (1,0,1) e (0,1,0) são linearmente independentes e geram W1, formando uma base. Logo
dim W1=2

Resposta

W1 é subespaço vetorial de R^3 e dim W1=2.

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