Sejam alpha=[1,2],(0,1) e beta=(1,1,1),(1,1,0) bases de R^2 e Tbeta^alpha=binom1 21 1
(20) Calcule T(x,y) para todo (x,y) in R^2

Passo 1

O enunciado define uma transformação linear
;Tcolon R^2toR^3
cuja matriz de representação de R^2 (base alpha) em R^3 (base beta) é
Tbeta^alpha = 1 & 2 1 & 1 ,
onde
alpha=u1=(1,2),,u2=(0,1)
e
beta=v1=(1,1,1),,v2=(1,1,0).
Para achar T(x,y) em coordenadas usuais, vamos:
1. escrever (x,y) em coordenadas de alpha;
2. multiplicar pela matriz Tbeta^alpha;
3. recompor em coordenadas usuais usando beta.

Passo 2

Dados , escrevemos
Dessa igualdade segue o sistema
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Portanto

Passo 3

Aplicando a matriz de T em coordenadas de alpha, obtemos as coordenadas em beta:
l[T(x,y)r]beta = 1 & 2 1 & 1 x y-2x = 1cdot x + 2,(y-2x)[6pt] 1cdot x + 1,(y-2x) = 2y -3x y - x ]

Passo 4

Para voltar às coordenadas usuais em R^3, escrevemos
T(x,y) = (2y-3x),v1 ;+;(y-x),v2 = (2y-3x) 111 + (y-x) 110
Somando componente a componente, vem
T(x,y) = (2y-3x)+(y-x) (2y-3x)+(y-x) (2y-3x)+0 = 3y-4x 3y-4x 2y-3x

Resposta

T(x,y) = l(3y-4x,;3y-4x,;2y-3xr)

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