Sejam alpha=[1,2],(0,1) e beta=(1,1,1),(1,1,0) bases de R^2 e Tbeta^alpha=binom1 21 1
(10) Calcule [I]β^alpha e [I]alpha^β

Passo 1

O enunciado nos dá duas bases de R^2:
alpha = v1=[1,2],;v2=(0,1), beta = w1=(1,1),;w2=(1,0)
Queremos calcular as matrizes de mudança de base do operador identidade:
[I]beta^alpha, que leva coordenadas em alpha para coordenadas em beta, e
[I]alpha^beta, que faz o inverso.

Passo 2

Para montar
Isso dá o sistema
Da segunda equação vem . Logo as coordenadas de na base são .
. Escrevemos
Isso dá
Da segunda equação vem . Logo as coordenadas de na base são .

Passo 3

Agrupando essas coordenadas em colunas, obtemos
[I]beta^alpha = 2 & 1 -1 & -1

Passo 4

Para obter [I]alpha^beta basta inverter essa matriz. O determinante é
det = 2cdot(-1) - 1cdot(-1) = -2 +1 = -1,
e portanto
[I]alpha^beta = l([I]beta^alphar)^-1 = 1-1 -1 & -1 1 & 2 = 1 & 1 -1 & -2

Resposta

[I]beta^alpha = 2 & 1 -1 & -1 , [I]alpha^beta = 1 & 1 -1 & -2

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