Sejam X1:
independentes. Seja
X1 - X2 + X3, também com distribuição normal. Calcular: (a)
), (b)
(47 【
). (Repostas: (a) 0,077583, (b) 0,489372).
Passo 1
Beleza, vamos resolver um problema de soma (e subtração) de variáveis aleatórias Normais. O enunciado diz que
X₁ ~ N(150, 30), X₂ ~ N(200, 20), X₃ ~ N(100, 14) são independentes, onde o segundo parâmetro é a variância.
Definimos X = X₁ – X₂ + X₃. Como soma e diferença de Normais independentes, X também é Normal.
O que precisamos:
X₁ ~ N(150, 30), X₂ ~ N(200, 20), X₃ ~ N(100, 14) são independentes, onde o segundo parâmetro é a variância.
Definimos X = X₁ – X₂ + X₃. Como soma e diferença de Normais independentes, X também é Normal.
O que precisamos:
- Saber que a média de X é a soma algébrica das médias de X₁, X₂ e X₃ (com sinais).
- Saber que a variância de X é a soma das variâncias (cada uma vezes o coeficiente ao quadrado).
- Depois, padronizar para usar a tabela da Normal Padrão e calcular as probabilidades.
Passo 2
Calcular a média e a variância de X.
Média:
Média:
Variância (cada variável vem multiplicada por +1, –1 ou +1; variância não muda de sinal):
Logo, o desvio-padrão é
Passo 3
(a) Calcular
.
Primeiro, padronizamos:
Primeiro, padronizamos:
Assim,
Então
Passo 4
Usando tabela ou calculadora da Normal Padrão:
e
.
Logo
Logo
Passo 5
(b) Calcular
.
Padronizando:
Padronizando:
Então
Da tabela:
. Como
,
.
Logo
Logo
Resposta
(a) 0,077583
(b) 0,489372
(b) 0,489372