Sejam X1: N(150,30), X 2: N(200,20), X 3: N(100,14) independentes. Seja X= X1 - X2 + X3, também com distribuição normal. Calcular: (a) P(61 <= X <= 70 ), (b) P (47 【 X <= 58 ). (Repostas: (a) 0,077583, (b) 0,489372).

Passo 1

Beleza, vamos resolver um problema de soma (e subtração) de variáveis aleatórias Normais. O enunciado diz que
X₁ ~ N(150, 30), X₂ ~ N(200, 20), X₃ ~ N(100, 14) são independentes, onde o segundo parâmetro é a variância.
Definimos X = X₁ – X₂ + X₃. Como soma e diferença de Normais independentes, X também é Normal.
O que precisamos:
  • Saber que a média de X é a soma algébrica das médias de X₁, X₂ e X₃ (com sinais).
  • Saber que a variância de X é a soma das variâncias (cada uma vezes o coeficiente ao quadrado).
  • Depois, padronizar para usar a tabela da Normal Padrão e calcular as probabilidades.

Passo 2

Calcular a média e a variância de X.
Média:
muX ;=; mu1 ;-;mu2;+;mu3 ;=; 150 ;-;200;+;100 ;=;50
Variância (cada variável vem multiplicada por +1, –1 ou +1; variância não muda de sinal):
sigmaX^2 ;=; sigma1^2 ;+;sigma2^2;+;sigma3^2 ;=;30 ;+;20;+;14 ;=;64
Logo, o desvio-padrão é
sigmaX = raiz64 = 8

Passo 3

(a) Calcular Z = X - muXsigmaX .
Primeiro, padronizamos:
z1 = 61 - 508 = 118 = 1,375, z2 = 70 - 508 = 208 = 2,5
Assim,
P(61<= X<=70) = Pl(1,375 <= Z <= 2,5r) = Phi(2,5);-;Phi(1,375)
Então

Passo 4

Usando tabela ou calculadora da Normal Padrão:
P(61<= X<=70)approx 0,9938 - 0,9162 = 0,0776 e .
Logo

Passo 5

(b) Calcular z3 = 47 - 508 = -38 = -0,375, z4 = 58 - 508 = 88 = 1 .
Padronizando:
P(47<= X<=58) = Pl(-0,375 <= Z <= 1r) = Phi(1);-;Phi(-0,375)
Então
P(47<= X<=58)approx 0,8413 - 0,3538 = 0,4875
Da tabela: . Como ,
.
Logo

Resposta

(a) 0,077583
(b) 0,489372

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