Sejam
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A função
é injetora?
A função
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma função $ f_{1}(x) = 1 + \sqrt[7]{-1 + x} $ e a pergunta é: essa função é injetora? Aqui, estamos lidando com funções injetoras, que fazem parte do estudo de funções matemáticas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser injetora e analisar o comportamento dessa função específica.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma função injetora. Uma função é injetora (ou uno-para-um) se cada valor no conjunto de saída é associado a no máximo um valor no conjunto de entrada. Em outras palavras, se $ f(a) = f(b) $ implica que $ a = b $, então a função é injetora. Isso evita que dois valores diferentes de entrada resultem no mesmo valor de saída.
Passo 3
Vamos analisar a função $ f_{1}(x) = 1 + \sqrt[7]{-1 + x} $. Aqui, temos duas partes principais:
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$ \sqrt[7]{-1 + x} $: Isso é uma raiz de índice ímpar, o que significa que a função raiz é estritamente crescente em todo o seu domínio. Ou seja, conforme $ x $ aumenta, $ \sqrt[7]{-1 + x} $ também aumenta de forma contínua e sem voltas.
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Somando 1: Adicionar 1 a uma função que é estritamente crescente mantém a propriedade de ser estritamente crescente.
Passo 4
Como a função $ f_{1}(x) $ é estritamente crescente, isso significa que para qualquer $ x_1 < x_2 $, teremos $ f_{1}(x_1) < f_{1}(x_2) $. Portanto, nunca teremos dois valores diferentes de $ x $ que resultem no mesmo valor de $ f_{1}(x) $.
Passo 5
Além disso, como a função é contínua e estritamente crescente em todo o seu domínio (que, nesse caso, é $ x > 1 $ devido à raiz), ela não repete valores de saída para entradas diferentes.
Resposta
Sim, a função $ f_{1}(x) = 1 + \sqrt[7]{-1 + x} $ é injetora porque é estritamente crescente em todo o seu domínio, garantindo que valores diferentes de $ x $ resultem em valores únicos de $ f_{1}(x) $.