Sejam S=[l1 2],[l0 1], T=[l1 1],[l2 3] bases ordenadas de R^2. Sejam v=[l1 5] e w=[l5 4].
Encontre os vetores de coordenadas de v e w em relação à base T.

Passo 1

Vamos resumir o que a gente precisa fazer aqui. Temos duas bases ordenadas, S e T, no espaço R^2. Também temos dois vetores, v e w. O objetivo é encontrar as coordenadas desses vetores em relação à base T. Para isso, vamos precisar entender como expressar um vetor como combinação linear dos vetores da base T.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma base. Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são lineares e que, combinados de forma apropriada, podem representar qualquer vetor nesse espaço. No nosso caso, a base T é formada pelos vetores [c1 1] e [c2 3].

Passo 3

Para encontrar as coordenadas de um vetor na base T, precisamos encontrar coeficientes a e b tais que:
v = a cdot [c1 1] + b cdot [c2 3]
Isso significa que vamos montar um sistema de equações para resolver esses coeficientes.

Passo 4

Vamos aplicar isso para o vetor [\mathbf{v} = \left[ \right]):
Isso nos dá o sistema de equações:
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Substituindo (b = 4] na primeira equação:
Portanto, as coordenadas de na base são e .

Passo 5

Agora, vamos fazer o mesmo para o vetor [\mathbf{w} = \left[ \right]):
O sistema de equações fica:
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Substituindo (b = -1] na primeira equação:
Portanto, as coordenadas de na base são e .

Resposta

As coordenadas dos vetores na base T são:
vT = [c-7 4], wT = [c7 -1]

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