Sejam , e . Sendo , responda as perguntas a seguir, justificando as respostas:
(b) Qual é a dimensão do espaço vetorial ? O conjunto gera o espaço ?
Passo 1
O enunciado nos dá cinco polinômios em :
e define .
Queremos achar e decidir se esses cinco polinômios geram todo (que tem dimensão 4). Para isso, vamos escrever cada em coordenadas na base usual e calcular o posto da matriz formada por essas colunas.
Passo 2
Escrevendo cada como vetor , obtemos a matriz
cujas colunas são as coordenadas de p1,dots,p5.
Passo 3
Aplicando eliminação de Gauss em M:
R2 R2-2R1, R4 R4-2R1
Pivot em (2,2): R3 R3+4R2, R4 R4+2R2
Pivot em (3,3): nota-se que a quarta linha vira múltiplo da terceira e zera.
Ficamos com exatamente três linhas não nulas em forma escalonada, logo o posto de M é 3.
Passo 4
Como o posto da matriz de coordenadas é 3, temos
dimA = 3
Mas dim P3 = 4, então uma subespaço de dimensão 3 não pode ser todo P3. Logo os cinco pi não geram P3.
Resposta
A dimensão de A é 3.
O conjunto p1,dots,p5 não gera o espaço P3.