Sejam p1(x)=x^3+2 x^2+2, p2(x)=-x^2+4 x+2, p3(x)=2 x^3-3 x, p4(x)=-3 x^3+3 x^2+2 x, p5(x)=-x^3+8 x^2-2 x+2 e p(x)=-x^3+6 x^2+6 x+6. Sendo A=>=rp1, p2, p3, p4, p5, responda as perguntas a seguir, justificando as respostas:
(b) Qual é a dimensão do espaço vetorial A? O conjunto p1, p2, p3, p4, p5 gera o espaço P3?

Passo 1

O enunciado nos dá cinco polinômios em P3:
p1(x)=x^3+2x^2+2, p2(x)=-x^2+4x+2, p3(x)=2x^3-3x,
p4(x)=-3x^3+3x^2+2x, p5(x)=-x^3+8x^2-2x+2,
e define A=>=rp1,dots,p5.
Queremos achar dimA e decidir se esses cinco polinômios geram todo P3 (que tem dimensão 4). Para isso, vamos escrever cada pi em coordenadas na base usual x^3,x^2,x,1 e calcular o posto da matriz formada por essas colunas.

Passo 2

Escrevendo cada pi(x)=ai x^3+bi x^2+ci x+di como vetor (ai,bi,ci,di), obtemos a matriz 4times5
M= 1 & 0 & 2 & -3 & -1 2 & -1& 0 & 3 & 8 0 & 4 & -3& 2 & -2 2 & 2 & 0 & 0 & 2
cujas colunas são as coordenadas de p1,dots,p5.

Passo 3

Aplicando eliminação de Gauss em M:
  1. R2 R2-2R1, R4 R4-2R1
  2. Pivot em (2,2): R3 R3+4R2, R4 R4+2R2
  3. Pivot em (3,3): nota-se que a quarta linha vira múltiplo da terceira e zera.
Ficamos com exatamente três linhas não nulas em forma escalonada, logo o posto de M é 3.

Passo 4

Como o posto da matriz de coordenadas é 3, temos
dimA = 3
Mas dim P3 = 4, então uma subespaço de dimensão 3 não pode ser todo P3. Logo os cinco pi não geram P3.

Resposta

A dimensão de A é 3.
O conjunto p1,dots,p5 não gera o espaço P3.

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