Sejam A=[rrrr1 & 0 & 2 & -3 2 & -1 & 0 & 3 0 & 4 & -3 & 2 2 & 2 & 0 & 0], B=[rrrr2 & 0 & -1 & 0 0 & -3 & 1 & 5 0 & 0 & -1 & 0 0 & 0 & 0 & -1] e c=[l4 1 0 3].
(b) (0,5 ponto) O que você pode dizer quanto ao número de soluções do sistema linear (A B^-2)^T x=c?

Passo 1

O enunciado dá as matrizes
A= 1 & 0 & 2 & -3 2 & -1 & 0 & 3 0 & 4 & -3 & 2 2 & 2 & 0 & 0 , B= 2 & 0 & -1 & 0 0 & -3 & 1 & 5 0 & 0 & -1 & 0 0 & 0 & 0 & -1
e o vetor
c=4103,
e pede o número de soluções do sistema
l(A,B^-2r)^Tx = c
O conteúdo envolvido é teste de invertibilidade de matrizes pelo determinante e relação com existência/unicidade de solução de sistemas lineares.

Passo 2

Repare que é triangular superior com diagonais . Logo é invertível e existe. Como multiplicação por matriz invertível não muda o posto,

Passo 3

Chame
M = (A,B^-2)^T
Temos
det M = detl(A,B^-2r) = det(A),det(B^-2) = det(A),l(det B^-1r)^2 = det(A)l(det Br)^2
Logo M é singular se, e somente se, det(A)=0.

Passo 4

Calculemos det(A) por eliminação:
A partir de
A= 1&0&2&-3 2&-1&0&3 0&4&-3&2 2&2&0&0
fazemos R2!!R2-2R1 e R4!!R4-2R1, obtendo um bloco 3times3 cuja determinante é zero. Concluímos
det(A)=0

Passo 5

Como , segue , isto é, . Portanto o sistema não pode ter solução única. Dependendo de , ou não tem solução ou tem infinitas soluções.

Resposta

O sistema não admite solução única; ele pode ser inconsistente (nenhuma solução) ou, se for consistente, ter infinitas soluções.

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