Sejam A=[rrrr1 & 0 & 2 & -3 2 & -1 & 0 & 3 0 & 4 & -3 & 2 2 & 2 & 0 & 0], B=[rrrr2 & 0 & -1 & 0 0 & -3 & 1 & 5 0 & 0 & -1 & 0 0 & 0 & 0 & -1] e c=[l4 1 0 3].
(a) (1 ponto) Calcule o determinante de A por expansão em cofatores.

Passo 1

O enunciado fornece a matriz quadrada de ordem 4
A = 1 & 0 & 2 & -3 2 & -1 & 0 & 3 0 & 4 & -3 & 2 2 & 2 & 0 & 0
e pede det(A) usando expansão em cofatores. Como a primeira linha tem um zero, vamos expandir por ela.

Passo 2

A fórmula de expansão pela primeira linha é
det(A)=sumj=1^4(-1)^1+j,a1j,det(M1j)
onde M1j é a matriz obtida de A ao remover a linha 1 e a coluna j. Como a12=0, só precisamos de j=1,3,4.

Passo 3

Para j=1 temos a11=1 e
M11 = -1 & 0 & 3 4 & -3 & 2 2 & 0 & 0
Logo
det(M11) = -1,( -3cdot0 - 2cdot0 ) - 0,(4cdot0 - 2cdot2) + 3,(4cdot0 - (-3)cdot2) = 18
A contribuição é
(-1)^1+1,a11,det(M11) = 1cdot1cdot18 = 18

Passo 4

Para j=3 temos a13=2 e
M13 = 2 & -1 & 3 0 & 4 & 2 2 & 2 & 0
Calculando
det(M13) =2,(4cdot0-2cdot2) -(-1),(0cdot0-2cdot2) +3,(0cdot2-4cdot2) =-36
e a contribuição
(-1)^1+3,a13,det(M13) =+1cdot2cdot(-36)=-72

Passo 5

Para j=4 temos a14=-3 e
M14 = 2 & -1 & 0 0 & 4 & -3 2 & 2 & 0
Calculando
det(M14) =2,(4cdot0 - (-3)cdot2) -(-1),(0cdot0 - (-3)cdot2) +0 = 18
e a contribuição
(-1)^1+4,a14,det(M14) =-1cdot(-3)cdot18 = 54

Passo 6

Somando todas as contribuições:
18 ;+;0;-;72;+;54 = 0

Resposta

det(A)=0

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