Sejam p1(x)=x^3+2 x^2+2, p2(x)=-x^2+4 x+2, p3(x)=2 x^3-3 x, p4(x)=-3 x^3+3 x^2+2 x, p5(x)=-x^3+8 x^2-2 x+2 e p(x)=-x^3+6 x^2+6 x+6. Sendo A=>=rp1, p2, p3, p4, p5, responda as perguntas a seguir, justificando as respostas:
(c) p1, p2, p3, p4, p5 forma uma base para P3? Se não, é possível extrair uma base de P3 dentro deste conjunto? Se sim, qual?

Passo 1

Resumo do enunciado e plano de ataque
Temos cinco polinômios
,p1(x)=x^3+2x^2+2,;p2(x)=-x^2+4x+2,;p3(x)=2x^3-3x,;p4(x)=-3x^3+3x^2+2x,;p5(x)=-x^3+8x^2-2x+2
que geram o subespaço A=>=rp1,dots,p5 de P3 (polinômios de grau <=4).
Para que p1,dots,p5 seja base de P3 (que tem dimensão 4) é preciso que sejam linearmente independentes e que seu span tenha dimensão 4.
Vamos escrever cada pi como vetor de coeficientes em relação à base x^3,x^2,x,1 e aplicar eliminação de Gauss para achar o posto.

Passo 2

Matriz de coeficientes
Em colunas colocamos [,coeficiente de x^3,;x^2,;x,;1] para cada pi. Assim, a matriz aumentada (sem aumentar coluna constante) fica:
M= 1 & 2 & 0 & 2 0 & -1 & 4 & 2 2 & 0 & -3 & 0 -3 & 3 & 2 & 0 -1 & 8 & -2 & 2

Passo 3

Eliminação de Gauss para encontrar o posto
  1. Pivot na primeira linha l[1;2;0;2r]. Zera-se abaixo:
    • R3 R3-2R1 [0,-4,-3,-4]
    • R4 R4+3R1 [0,9,2,6]
    • R5 R5+R1 [0,10,-2,4]
  2. Pivot na segunda coluna: multiplica-se R2 por -1 para ter [0,1,-4,-2] e zera-se abaixo:
    • R3 R3+4R2[0,0,-19,-12]
    • R4 R4-9R2[0,0,38,24]
    • R5 R5-10R2[0,0,38,24]
  3. Pivot na terceira coluna em R3. Zera-se abaixo:
    • Dividindo R3 por -19 e eliminando em R4,R5 mostram-se linhas nulas em R4,R5.
Sobram três linhas não nulas, logo
posto(M)=3

Passo 4

Conclusão sobre base de P3
Como posto=3<4=dim(P3), o conjunto p1,dots,p5 é linearmente dependente e seu span tem dimensão 3.
Portanto não forma base de P3 e não é possível extrair quatro polinômios independentes entre eles para obter base de P3.

Passo 5

Extração de uma base para A
Embora não dê para base de P3, podemos extrair uma base do próprio subespaço A, escolhendo três polinômios independentes. Por exemplo, das operações acima vimos que as três primeiras linhas são pivôs, de modo que
,p1,;p2,;p3
é um conjunto de três polinômios linearmente independentes que geram A.

Resposta

Não, p1,dots,p5 não é base de P3 pois seu posto é 3 menor que dim(P3)=4, e não existem quatro independentes entre eles.
Uma base de A extraída do conjunto original é, por exemplo,
,p1,;p2,;p3

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