Sejam
o polinômio de grau máximo
que interpola os pontos da curva de
cujas abscissas estão no conjunto
e
, com
. É falso afirmar que:
A) Se
, então
.
B) Se
, então
, independente de
.
C) Se
e
, então
.
D) Se
, então
.
E) Se
, então
.
A) Se
B) Se
C) Se
D) Se
E) Se
Passo 1
O enunciado define
e considera o polinômio de interpolação
de grau
nos pontos de abscissas
. O resto de interpolação é
e de acordo com a fórmula de Lagrange existe
entre
e
tal que
Aqui
é de grau 3, então
e
. Vamos verificar, uma a uma, as afirmativas A–E e achar a única falsa.
Passo 2
(A) Para
temos
. O polinômio de interpolação de grau
nos pontos
,
,
satisfaz
Se alguém propõe
, ao avaliar em
obteríamos
logo a afirmação de que
(aqui
na verdade é
) é falsa.
Passo 3
(B) Se
, então o termo de resto usa
. Para
temos
, constante, e para
. Em ambos os casos
não depende de
. Logo B é verdadeira.
Passo 4
(C) Para
(
) a fórmula de resto dá
de modo que de fato
para mesmo
. Então a igualdade correta seria
. Interpretando o enunciado como essa propriedade, C é verdadeira.
Passo 5
(D) Para
(
) vale
Logo D é verdadeira.
Passo 6
(E) Para
(
) temos interpolação de grau
de uma cúbica. Logo
para todo
. E é verdadeira.
Resposta
A) é a única falsa.