Sejam f(x)=x^3+x-1, P3(x) o polinômio de grau máximo n que interpola os pontos da curva de f cujas abscissas estão no conjunto X=x0, ldots, xn, D3(x)=f(x)-P3(x) e E3(x)=f^(4)(xi) /(n+1)!Pi(x-xi), com x0<xi< xn. É falso afirmar que:
A) Se X=1 ; 2 ; 3, então P3(x)=6 x^2+10 x+5.
B) Se n >= 2, então E3, independente de xi.
C) Se X=1 ; 2 e xi in[1,2], então D3(1,6)=E3(1,5).
D) Se X=1 ; 2 ; 3, então E3(1,5)=0,375.
E) Se X=1 ; 2 ; 3 ; 4, então forall x in R, P3(x)=f(x).

Passo 1

O enunciado define f(x)=x^3 + x - 1 e considera o polinômio de interpolação Pn(x) de grau <= n nos pontos de abscissas X=x0,dots,xn. O resto de interpolação é
Dn(x)=f(x)-Pn(x)
e de acordo com a fórmula de Lagrange existe xi entre x0 e xn tal que
Dn(x)=En(x) com En(x) =f^(n+1)(xi)(n+1)!prodi=0^n (x-xi)
Aqui f é de grau 3, então f^(3)(x)=6 e f^(4)(x)=0. Vamos verificar, uma a uma, as afirmativas A–E e achar a única falsa.

Passo 2

(A) Para X=1,2,3 temos n=2. O polinômio de interpolação de grau <=2 nos pontos (1,f(1)), (2,f(2)), (3,f(3)) satisfaz
P2(1)=f(1)=1, P2(2)=f(2)=2^3+2-1=9, P2(3)=f(3)=27+3-1=29
Se alguém propõe P2(x)=6x^2+10x+5, ao avaliar em x=1 obteríamos
P2(1)=6+10+5=21neq1,
logo a afirmação de que P3(x)=6x^2+10x+5 (aqui P3 na verdade é P2) é falsa.

Passo 3

(B) Se n>=2, então o termo de resto usa f^(n+1). Para n=2 temos f^(3)(x)=6, constante, e para n>2 f^(n+1)(x)=0. Em ambos os casos En(x) não depende de xi. Logo B é verdadeira.

Passo 4

(C) Para X=1,2 ( n=1) a fórmula de resto dá
D1(x)=E1(x) =f''(xi)2!(x-1)(x-2),
de modo que de fato D1(x)=E1(x) para mesmo x. Então a igualdade correta seria D1(1,6)=E1(1,6). Interpretando o enunciado como essa propriedade, C é verdadeira.

Passo 5

(D) Para X=1,2,3 ( n=2) vale
E2(1,5) =f^(3)(xi)3!(1,5-1)(1,5-2)(1,5-3) =66,(0,5)(-0,5)(-1,5) =(0,5cdot0,5)cdot1,5 =0,375
Logo D é verdadeira.

Passo 6

(E) Para X=1,2,3,4 ( n=3) temos interpolação de grau <=3 de uma cúbica. Logo P3(x)=f(x) para todo x. E é verdadeira.

Resposta

A) é a única falsa.

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