Sobre a interpolação a partir de quatro pontos-base de abscissas distintas, é falso afirmar que:
A) O grau do polinômio interpolador pode ser menor que 3 .
B) Os coeficientes do polinômio de Gregory-Newton satisfazem um sistema de quatro equações lineares cuja matriz, A, é tal que |A| in1 ; 2 ; 3, forall j in2 ; 3 ; 4, Ai, j+1=Ai, j+h, h sendo uma constante.
C) A interpolação em uma abscissa qualquer é realizada mais rapidamente com o polinômio de Newton do que com o polinômio de Lagrange.
D) Desconsiderando os erros de arredondamento, os polinômios de Lagrange e Newton coincidem em qualquer abscissa, mesmo fora do intervalo de interpolação.
E) Os coeficientes do polinômio interpolador satisfazem um sistema de quatro equações lineares cuja matriz é uma matriz não singular de Vandermonde.

Passo 1

O enunciado trata de interpolação por quatro pontos de abscissas distintas, o que garante a existência de um polinômio único de grau <=3 que passa por esses pontos. Precisamos identificar qual das afirmações A–E é falsa.

Passo 2

Analisando a afirmação A: “O grau do polinômio interpolador pode ser menor que 3.”
De fato, se os quatro pontos estiverem numa curva de grau menor (por exemplo, todos alinhados ou num polinômio de grau 2), o polinômio interpolador de grau <=3 “cai” para grau 2 ou menor. Logo, A é verdadeira.

Passo 3

Analisando a afirmação C: “A interpolação em uma abscissa qualquer é realizada mais rapidamente com o polinômio de Newton do que com o polinômio de Lagrange.”
Para avaliar p(x) no método de Newton usamos forma de Horner com custo O(n), enquanto em Lagrange tipicamente temos custo O(n^2). Portanto, C é verdadeira.

Passo 4

Analisando a afirmação D: “Desconsiderando erros de arredondamento, os polinômios de Lagrange e Newton coincidem em qualquer abscissa, mesmo fora do intervalo de interpolação.”
Ambos representam o mesmo polinômio único de grau <=3 que interpola os pontos, logo coincidem em todo xin R. Assim, D é verdadeira.

Passo 5

Analisando a afirmação E: “Os coeficientes do polinômio interpolador satisfazem um sistema de quatro equações lineares cuja matriz é uma matriz não singular de Vandermonde.”
Se escrevermos o polinômio em forma monomial a0 + a1x + a2x^2 + a3x^3, obtemos exatamente um sistema Vandermonde não singular. Logo, E é verdadeira.

Passo 6

Analisando a afirmação B:
“Os coeficientes do polinômio de Gregory-Newton satisfazem um sistema de quatro equações lineares cuja matriz, A, é tal que lvert Arvertin1;2;3, forall jin2;3;4, Ai,j+1=Ai,j+h, h sendo uma constante.”
— O método de Gregory–Newton de fato usa pontos equiespaçados e diferenças divididas, mas a matriz obtida não é descrita por Ai,j+1=Ai,j+h nem tem determinante restrito a 1,2,3. A descrição está incorreta em sua forma e em suas propriedades de determinante. Portanto, B é falsa.

Resposta

B

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