Sejam e bases do tais que e .
Determine a matriz de mudança de base, da base para a base .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui são duas bases no espaço tridimensional, . A base é formada pelos vetores , e . A base é formada pelos vetores , e , que estão definidos em termos dos vetores da base . Nosso objetivo é encontrar a matriz de mudança de base que vai transformar coordenadas da base para a base . Para isso, vamos precisar usar alguns conceitos de álgebra linear, como vetores, bases, e matrizes de mudança de base.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma matriz de mudança de base. Imagine que você tem um vetor representado na base e quer reescrevê-lo na base . A matriz de mudança de base faz exatamente isso: ela “converte” as coordenadas do vetor de uma base para outra. Para encontrar essa matriz, precisamos expressar cada vetor da base em termos dos vetores da base .
Passo 3
Vamos começar expressando cada vetor da base como uma combinação linear dos vetores , e da base .
As definições dadas são:
Passo 4
Agora, vamos representar cada como combinações lineares:
Para :
Para :
Para :
Passo 5
Esses coeficientes que encontramos representam as colunas da matriz de mudança de base. Ou seja, a matriz de mudança de base de para é formada pelos coeficientes das combinações lineares de , e em termos de , e .
Então, a matriz será:
Resposta
A matriz de mudança de base da base alpha para a base beta é: