Sejam alpha=u1=(1,1,0), u2=(2,1,1), u3=(-1,0,1) e beta=v1, v2, v3 bases do R^3 tais que v1=u1-u3, v2=u1+u2-2 u3 e v3=-u1+2 u3.
Determine a matriz de mudança de base, da base alpha para a base beta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui são duas bases no espaço tridimensional, R^3. A base alpha é formada pelos vetores u1=(1,1,0), u2=(2,1,1) e u3=(-1,0,1). A base beta é formada pelos vetores v1, v2 e v3, que estão definidos em termos dos vetores da base alpha. Nosso objetivo é encontrar a matriz de mudança de base que vai transformar coordenadas da base alpha para a base beta. Para isso, vamos precisar usar alguns conceitos de álgebra linear, como vetores, bases, e matrizes de mudança de base.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma matriz de mudança de base. Imagine que você tem um vetor representado na base alpha e quer reescrevê-lo na base beta. A matriz de mudança de base faz exatamente isso: ela “converte” as coordenadas do vetor de uma base para outra. Para encontrar essa matriz, precisamos expressar cada vetor da base beta em termos dos vetores da base alpha.

Passo 3

Vamos começar expressando cada vetor vi da base beta como uma combinação linear dos vetores u1, u2 e u3 da base alpha.
As definições dadas são:
v1 = u1 - u3
v2 = u1 + u2 - 2u3
v3 = -u1 + 2u3

Passo 4

Agora, vamos representar cada vi como combinações lineares:
Para v1:
v1 = 1u1 + 0u2 - 1u3
Para v2:
v2 = 1u1 + 1u2 - 2u3
Para v3:
v3 = -1u1 + 0u2 + 2u3

Passo 5

Esses coeficientes que encontramos representam as colunas da matriz de mudança de base. Ou seja, a matriz de mudança de base de alpha para beta é formada pelos coeficientes das combinações lineares de v1, v2 e v3 em termos de u1, u2 e u3.
Então, a matriz Palpha to beta será:
Palpha to beta = 1 & 1 & -1 0 & 1 & 0 -1 & -2 & 2

Resposta

A matriz de mudança de base da base alpha para a base beta é:
Palpha to beta = 1 & 1 & -1 0 & 1 & 0 -1 & -2 & 2

Exercícios relacionados