Sejam e bases do tais que e .
Determine a matriz de mudança de base, da base para a base .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos dá duas bases do espaço tridimensional . A base é composta pelos vetores , e , e a base é formada pelos vetores , e , que são combinações lineares dos vetores da base . Nosso objetivo é encontrar a matriz de mudança de base que transforma as coordenadas de um vetor da base para a base . Para isso, vamos precisar entender como os vetores de se relacionam com os de e usar conhecimentos de álgebra linear, especialmente sobre mudança de base e matrizes de transformação.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa mudar de base. Quando temos duas bases diferentes para o mesmo espaço vetorial, podemos converter as coordenadas de um vetor de uma base para outra usando uma matriz de mudança de base. Essa matriz basicamente nos diz como os vetores de uma base podem ser expressos em termos da outra base.
Passo 3
Vamos identificar como os vetores da base [\beta) estão escritos em termos da base . Já temos essas expressões no enunciado:
Isso significa que cada vetor , e .
Passo 4
Agora, para construir a matriz de mudança de base de alpha para beta, precisamos organizar os coeficientes dessas combinações lineares em colunas. Cada coluna da matriz representará os coeficientes que multiplicam os vetores u1, u2 e u3 para obter o correspondente vetor vi.