Sejam alpha=u1=(1,1,-2), u2=(0,1,1), u3=(2,1,0) e beta=v1, v2, v3 bases do R^3 tais que v1=u1-u2-2 u3, v2=u1+2 u2-2 u3 e v3=u1+u2-u3.
Determine a matriz de mudança de base, da base alpha para a base beta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá duas bases do espaço tridimensional R^3. A base alpha é composta pelos vetores u1, u2 e u3, e a base beta é formada pelos vetores v1, v2 e v3, que são combinações lineares dos vetores da base alpha. Nosso objetivo é encontrar a matriz de mudança de base que transforma as coordenadas de um vetor da base alpha para a base beta. Para isso, vamos precisar entender como os vetores de beta se relacionam com os de alpha e usar conhecimentos de álgebra linear, especialmente sobre mudança de base e matrizes de transformação.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa mudar de base. Quando temos duas bases diferentes para o mesmo espaço vetorial, podemos converter as coordenadas de um vetor de uma base para outra usando uma matriz de mudança de base. Essa matriz basicamente nos diz como os vetores de uma base podem ser expressos em termos da outra base.

Passo 3

Vamos identificar como os vetores da base [\beta) estão escritos em termos da base . Já temos essas expressões no enunciado:
Isso significa que cada vetor , e .

Passo 4

Agora, para construir a matriz de mudança de base de alpha para beta, precisamos organizar os coeficientes dessas combinações lineares em colunas. Cada coluna da matriz representará os coeficientes que multiplicam os vetores u1, u2 e u3 para obter o correspondente vetor vi.

Passo 5

Vamos extrair os coeficientes de cada expressão:
v1 &= 1u1 - 1u2 - 2u3 v2 &= 1u1 + 2u2 - 2u3 v3 &= 1u1 + 1u2 - 1u3
Então, os coeficientes são:
  • Para v1: 1, -1, -2
  • Para v2: 1, 2, -2
  • Para v3: 1, 1, -1

Passo 6

Com esses coeficientes, montamos a matriz de mudança de base. Cada coluna da matriz será formada pelos coeficientes correspondentes a cada vetor vi:
Malpha to beta = 1 & 1 & 1 -1 & 2 & 1 -2 & -2 & -1

Resposta

A matriz de mudança de base da base alpha para a base beta é:
Malpha to beta = 1 & 1 & 1 -1 & 2 & 1 -2 & -2 & -1

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