Sejam x, y ângulos agudos, onde: \cot x=3 e \operatorname{sec} y=1,33 \ldots
Calcule:
\sin y

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa:
  • São dados dois ângulos agudos x e y.
  • Foi informado que \cot x = 3.
  • Foi informado que \operatorname{sec} y = 1,33\ldots (ou seja, 1,\overline{3}, decimal periódico).
  • O que se pede: calcular \sin y.
Observação: a informação sobre \cot x está no enunciado, mas a pergunta é apenas sobre y; portanto provavelmente essa informação sobre x é irrelevante para encontrar \sin y.

Passo 2

Primeiro vamos transformar o número decimal periódico \,1,33\ldots em fração exata. Chamo esse número de s:
s = 1,\overline{3}.
Multiplicando por 10 obtemos
10s = 13,\overline{3}.
Agora subtraio as duas equações para eliminar a parte periódica:
10s - s = 13,\overline{3} - 1,\overline{3} \Rightarrow 9s = 12.
Logo
s = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}.
Portanto a informação \operatorname{sec} y = 1,33\ldots é equivalente a
\operatorname{sec} y = \frac{4}{3}.

Passo 3

Lembro o significado da função secante: por definição
\operatorname{sec} y = \frac{1}{\cos y}.
Assim, a partir de \operatorname{sec} y = \dfrac{4}{3} obtemos
\cos y = \frac{1}{\operatorname{sec} y} = \frac{1}{\tfrac{4}{3}} = \frac{3}{4}.
Aqui \cos y é o cosseno de y; como y é ângulo agudo, \cos y é positivo, então \cos y=\dfrac{3}{4} é consistente.

Passo 4

Para achar \sin y usamos a identidade pitagórica das funções trigonométricas:
\sin^{2}y + \cos^{2}y = 1.
Nessa fórmula, \sin y é o seno de y e \cos y é o cosseno de y. Substituindo \cos y=\dfrac{3}{4} temos
\sin^{2}y = 1 - \cos^{2}y = 1 - \left(\frac{3}{4}\right)^{2} = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}.
Como y é ângulo agudo (entre 0^\circ e 90^\circ), \sin y é positivo, então
\sin y = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}.

Passo 5

Interpretação geométrica rápida (para fixar a ideia): a partir de \cos y=\tfrac{3}{4} podemos imaginar um triângulo retângulo onde o cateto adjacente mede 3 e a hipotenusa mede 4. Pelo teorema de Pitágoras, o cateto oposto mede \sqrt{4^{2}-3^{2}}=\sqrt{7}. Então \sin y = \dfrac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}}=\dfrac{\sqrt{7}}{4}, igual ao cálculo anterior. Como checagem numérica, \dfrac{\sqrt{7}}{4}\approx 0{,}6614 e \cos y=\dfrac{3}{4}=0{,}75; (0{,}6614)^{2}+(0{,}75)^{2}\approx 1, confirmando a consistência.

Resposta

\dfrac{\sqrt{7}}{4}

Exercícios relacionados