Sejam
ângulos agudos, onde:
e
Calcule:
Calcule:
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa:
- São dados dois ângulos agudos
e . - Foi informado que
. - Foi informado que
(ou seja, , decimal periódico). - O que se pede: calcular
.
Observação: a informação sobre
está no enunciado, mas a pergunta é apenas sobre
; portanto provavelmente essa informação sobre
é irrelevante para encontrar
.
Passo 2
Primeiro vamos transformar o número decimal periódico
em fração exata. Chamo esse número de
:
Multiplicando por
obtemos
Agora subtraio as duas equações para eliminar a parte periódica:
Logo
Portanto a informação
é equivalente a
Passo 3
Lembro o significado da função secante: por definição
Assim, a partir de
obtemos
Aqui
é o cosseno de
; como
é ângulo agudo,
é positivo, então
é consistente.
Passo 4
Para achar
usamos a identidade pitagórica das funções trigonométricas:
Nessa fórmula,
é o seno de
e
é o cosseno de
. Substituindo
temos
Como
é ângulo agudo (entre
e
),
é positivo, então
Passo 5
Interpretação geométrica rápida (para fixar a ideia): a partir de
podemos imaginar um triângulo retângulo onde o cateto adjacente mede
e a hipotenusa mede
. Pelo teorema de Pitágoras, o cateto oposto mede
. Então
, igual ao cálculo anterior. Como checagem numérica,
e
;
, confirmando a consistência.