Sejam
e
acontecimentos tais que:
e
. Determine
sabendo que:
(b)
e
são acontecimentos independentes;
(b)
Passo 1
Vamos resolver um problema de probabilidade! Temos dois eventos, $ A $ e $ B $, com probabilidades conhecidas: $ P(A) = \frac{1}{5} $, $ P(B) = p $ e $ P(A \cup B) = \frac{1}{3} $. Além disso, sabemos que $ A $ e $ B $ são eventos independentes. Para encontrar o valor de $ p $, vamos usar conceitos de probabilidade de união e independência de eventos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da união de dois eventos:
Como $ A $ e $ B $ são independentes, a probabilidade da interseção deles é o produto das probabilidades individuais:
Substituindo na fórmula da união:
Passo 3
Agora, vamos simplificar a equação para encontrar $ p $. Primeiro, combinamos os termos com $ p $:
Para eliminar os denominadores, multiplicamos todos os termos por 15 (o Mínimo Múltiplo Comum de 3 e 5):
Simplificando:
Passo 4
Agora, isolamos $ p $:
Resposta
O valor de $ p $ é $ \frac{1}{6} $.