Sejam A e B acontecimentos tais que: P(A)=1 / 5, P(B)=p e P(A cup B)=1 / 3. Determine p sabendo que:
(b) A e B são acontecimentos independentes;

Passo 1

Vamos resolver um problema de probabilidade! Temos dois eventos, $ A $ e $ B $, com probabilidades conhecidas: $ P(A) = \frac{1}{5} $, $ P(B) = p $ e $ P(A \cup B) = \frac{1}{3} $. Além disso, sabemos que $ A $ e $ B $ são eventos independentes. Para encontrar o valor de $ p $, vamos usar conceitos de probabilidade de união e independência de eventos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da união de dois eventos:
P(A cup B) = P(A) + P(B) - P(A cap B)
Como $ A $ e $ B $ são independentes, a probabilidade da interseção deles é o produto das probabilidades individuais:
A
Substituindo na fórmula da união:
B

Passo 3

Agora, vamos simplificar a equação para encontrar $ p $. Primeiro, combinamos os termos com $ p $:
p
Para eliminar os denominadores, multiplicamos todos os termos por 15 (o Mínimo Múltiplo Comum de 3 e 5):
p
Simplificando:
13 = 15 + ( p - p5 ) = 15 + 4p5

Passo 4

Agora, isolamos $ p $:
p

Resposta

O valor de $ p $ é $ \frac{1}{6} $.

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