Num teste de deteção de uma certa doença, a probabilidade do resultado ser positivo quando aplicado a um indivíduo com essa doença é 0.99 , ao passo que a probabilidade de se observar um resultado positivo num indivíduo sem essa doença é 0.02 .
(a) Numa certa população a probabilidade de uma pessoa arbitrária ter a doença é 0.001 (prevalência). Para um indivíduo escolhido ao acaso nesta população, calcule:
i. A probabilidade do resultado do teste ser positivo.

Passo 1

Vamos lá, pessoal! Temos um teste para detectar uma doença específica. Sabemos que:
  • A probabilidade do teste dar positivo se a pessoa realmente tem a doença é de 99% (0,99).
  • A probabilidade do teste dar positivo mesmo se a pessoa NÃO tiver a doença é de 2% (0,02).
  • Na população geral, a chance de qualquer pessoa ter essa doença é de 0,1% (0,001).
Hoje, vamos calcular a probabilidade de um teste dar positivo para alguém escolhido aleatoriamente nessa população. Isso envolve conceitos de probabilidade total e probabilidade condicional.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que estamos procurando: a probabilidade de o teste ser positivo, independente de a pessoa ter ou não a doença. Isso é representado por $ P(T+) $.

Passo 3

Para calcular $ P(T+) $, usamos a fórmula da probabilidade total, que considera todas as formas pelas quais o evento pode acontecer. No nosso caso, o teste pode ser positivo de duas maneiras:
  1. A pessoa tem a doença e o teste acerta (positiva).
  2. A pessoa não tem a doença, mas o teste erra e dá positivo.
Matematicamente, fica assim:
P(T+)

Passo 4

Vamos substituir os valores que temos:
  • $ P(D) = 0,001 $ (probabilidade de ter a doença)
  • $ P(T+|D) = 0,99 $ (probabilidade do teste positivo dado que tem a doença)
  • $ P(\neg D) = 1 - P(D) = 0,999 $ (probabilidade de não ter a doença)
  • $ P(T+|\neg D) = 0,02 $ (probabilidade do teste positivo dado que não tem a doença)
Então:
P(D) = 0,001

Passo 5

Agora, fazemos as multiplicações:
P(T+) = 0,00099 + 0,01998

Passo 6

Somando os resultados:
P(T+) = 0,02097

Resposta

A probabilidade do resultado do teste ser positivo para um indivíduo escolhido ao acaso nessa população é de aproximadamente 2,1%.

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