Num teste de deteção de uma certa doença, a probabilidade do resultado ser positivo quando aplicado a um indivíduo com essa doença é 0.99 , ao passo que a probabilidade de se observar um resultado positivo num indivíduo sem essa doença é 0.02 .
(a) Numa certa população a probabilidade de uma pessoa arbitrária ter a doença é 0.001 (prevalência). Para um indivíduo escolhido ao acaso nesta população, calcule:
i. A probabilidade do resultado do teste ser positivo.
(a) Numa certa população a probabilidade de uma pessoa arbitrária ter a doença é 0.001 (prevalência). Para um indivíduo escolhido ao acaso nesta população, calcule:
i. A probabilidade do resultado do teste ser positivo.
Passo 1
Vamos lá, pessoal! Temos um teste para detectar uma doença específica. Sabemos que:
- A probabilidade do teste dar positivo se a pessoa realmente tem a doença é de 99% (0,99).
- A probabilidade do teste dar positivo mesmo se a pessoa NÃO tiver a doença é de 2% (0,02).
- Na população geral, a chance de qualquer pessoa ter essa doença é de 0,1% (0,001).
Hoje, vamos calcular a probabilidade de um teste dar positivo para alguém escolhido aleatoriamente nessa população. Isso envolve conceitos de probabilidade total e probabilidade condicional.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que estamos procurando: a probabilidade de o teste ser positivo, independente de a pessoa ter ou não a doença. Isso é representado por $ P(T+) $.
Passo 3
Para calcular $ P(T+) $, usamos a fórmula da probabilidade total, que considera todas as formas pelas quais o evento pode acontecer. No nosso caso, o teste pode ser positivo de duas maneiras:
- A pessoa tem a doença e o teste acerta (positiva).
- A pessoa não tem a doença, mas o teste erra e dá positivo.
Matematicamente, fica assim:
Passo 4
Vamos substituir os valores que temos:
- $ P(D) = 0,001 $ (probabilidade de ter a doença)
- $ P(T+|D) = 0,99 $ (probabilidade do teste positivo dado que tem a doença)
- $ P(\neg D) = 1 - P(D) = 0,999 $ (probabilidade de não ter a doença)
- $ P(T+|\neg D) = 0,02 $ (probabilidade do teste positivo dado que não tem a doença)
Então:
Passo 5
Agora, fazemos as multiplicações:
Passo 6
Somando os resultados:
Resposta
A probabilidade do resultado do teste ser positivo para um indivíduo escolhido ao acaso nessa população é de aproximadamente 2,1%.