Sejam A(-1,2,-5), B(5,4,0) e C(11,8,3).
(a) Calcule a área do triângulo A B C.
(b) Calcule o comprimento da altura que passa pelo ponto A.

Passo 1

O enunciado dá os pontos A(-1,2,-5), B(5,4,0) e C(11,8,3) e pede duas coisas:
(a) Calcular a área do triângulo ABC.
(b) Calcular o comprimento da altura que parte do ponto A (isto é, a distância de A à reta determinada por B e C).
Informações relevantes fornecidas:
A(-1,2,-5),\qquad B(5,4,0),\qquad C(11,8,3).

Passo 2

Primeiro vamos representar os lados do triângulo por vetores. Para obter o vetor entre dois pontos subtraímos coordenada a coordenada: se P(x_1,y_1,z_1) e Q(x_2,y_2,z_2) então \vec{PQ}=(x_2-x_1,\;y_2-y_1,\;z_2-z_1).
Aplicando isso:
\vec{AB} = B-A = (5-(-1),\;4-2,\;0-(-5)) = (6,\,2,\,5).
\vec{AC} = C-A = (11-(-1),\;8-2,\;3-(-5)) = (12,\,6,\,8).
\vec{BC} = C-B = (11-5,\;8-4,\;3-0) = (6,\,4,\,3).

Passo 3

Para achar a área do triângulo em \mathbb{R}^3 usamos o produto vetorial (cross product). Dois pontos importantes sobre o produto vetorial:
  • Se \vec{u} e \vec{v} são vetores em \mathbb{R}^3, então \vec{u}\times\vec{v} é um vetor perpendicular a ambos.
  • O módulo \|\vec{u}\times\vec{v}\| é a área do paralelogramo determinado por \vec{u} e \vec{v}. Portanto a área do triângulo com lados \vec{u} e \vec{v} é \tfrac{1}{2}\|\vec{u}\times\vec{v}\|.
Fórmula componentar do produto vetorial: se \vec{u}=(u_1,u_2,u_3) e \vec{v}=(v_1,v_2,v_3) então
\vec{u}\times\vec{v} = \big(u_2v_3-u_3v_2,\; u_3v_1-u_1v_3,\; u_1v_2-u_2v_1\big).
Aplicando com \vec{u}=\vec{AB}=(6,2,5) e \vec{v}=\vec{AC}=(12,6,8):
\vec{AB}\times\vec{AC} = \big(2\cdot8-5\cdot6,\;5\cdot12-6\cdot8,\;6\cdot6-2\cdot12\big).
Calcule cada componente:
2\cdot8-5\cdot6 = 16-30 = -14,
5\cdot12-6\cdot8 = 60-48 = 12,
6\cdot6-2\cdot12 = 36-24 = 12.
Portanto
\vec{AB}\times\vec{AC}=(-14,\,12,\,12).

Passo 4

Agora encontramos o módulo do vetor cruzado: se \vec{w}=(w_1,w_2,w_3) então \|\vec{w}\|=\sqrt{w_1^2+w_2^2+w_3^2}. Logo
\|\vec{AB}\times\vec{AC}\|=\sqrt{(-14)^2+12^2+12^2}=\sqrt{196+144+144}=\sqrt{484}=22.
Como esse módulo é a área do paralelogramo formado por \vec{AB} e \vec{AC}, a área do triângulo ABC é metade disso:
\text{Área}(ABC)=\tfrac{1}{2}\|\vec{AB}\times\vec{AC}\|=\tfrac{1}{2}\cdot22=11.Á

Passo 5

Agora a altura a partir de A é a distância de A à reta que passa por B e C. Se tomarmos a base como o segmento BC, a área do triângulo também é dada por
\text{Área}(ABC)=\tfrac{1}{2}\cdot\text{(base)}\cdot\text{(altura)}=\tfrac{1}{2}\, \|\vec{BC}\|\cdot h,Á
onde h é a altura pedida. Portanto
h=\frac{2\cdot\text{Área}(ABC)}{\|\vec{BC}\|}.Á
Calculamos \|\vec{BC}\|:
\|\vec{BC}\|=\sqrt{6^2+4^2+3^2}=\sqrt{36+16+9}=\sqrt{61}.
Substituindo \text{Área}(ABC)=11Á:
h=\frac{2\cdot11}{\sqrt{61}}=\frac{22}{\sqrt{61}}.
Se quiser uma aproximação numérica,
\frac{22}{\sqrt{61}}\approx 2{,}818.

Resposta

(a) \;11
(b) \;\dfrac{22}{\sqrt{61}}

Exercícios relacionados