Sejam
e
.
(a) Calcule a área do triângulo
.
(b) Calcule o comprimento da altura que passa pelo ponto
.
(a) Calcule a área do triângulo
(b) Calcule o comprimento da altura que passa pelo ponto
Passo 1
O enunciado dá os pontos
,
e
e pede duas coisas:
(a) Calcular a área do triângulo .
(b) Calcular o comprimento da altura que parte do ponto (isto é, a distância de
à reta determinada por
e
).
(a) Calcular a área do triângulo
(b) Calcular o comprimento da altura que parte do ponto
Informações relevantes fornecidas:
Passo 2
Primeiro vamos representar os lados do triângulo por vetores. Para obter o vetor entre dois pontos subtraímos coordenada a coordenada: se
e
então
.
Aplicando isso:
Passo 3
Para achar a área do triângulo em
usamos o produto vetorial (cross product). Dois pontos importantes sobre o produto vetorial:
- Se
e são vetores em , então é um vetor perpendicular a ambos. - O módulo
é a área do paralelogramo determinado por e . Portanto a área do triângulo com lados e é .
Fórmula componentar do produto vetorial: se
e
então
Aplicando com
e
:
Calcule cada componente:
Portanto
Passo 4
Agora encontramos o módulo do vetor cruzado: se
então
. Logo
Como esse módulo é a área do paralelogramo formado por
e
, a área do triângulo
é metade disso:
Passo 5
Agora a altura a partir de
é a distância de
à reta que passa por
e
. Se tomarmos a base como o segmento
, a área do triângulo também é dada por
onde
é a altura pedida. Portanto
Calculamos
:
Substituindo
:
Se quiser uma aproximação numérica,
Resposta
(a)
(b)
(b)