Sejam B=(ll1 & 1 0 & 0),(ll0 & 1 1 & 0),(ll0 & 0 1 & 1),(ll0 & 0 0 & 1) e C bases de M(2, C), sendo C a base canônica. Determine:
A matriz de mudança da base C para B.

Passo 1

O espaço vetor é M(2,C) de dimensão 4, com base canônica
C=(E11,E12,E21,E22) onde
E11=1&00&0,; E12=0&10&0,; E21=0&01&0,; E22=0&00&1
e base B=(B1,B2,B3,B4) dada por
B1=1&10&0,; B2=0&11&0,; B3=0&01&1,; B4=0&00&1
Queremos a matriz de mudança de base P tal que, para qualquer X,
[X] B=P,[X] C
As colunas de P são as coordenadas de E11,E12,E21,E22 na base B.

Passo 2

Escrevemos uma combinação genérica
a,B1+b,B2+c,B3+d,B4 = a & a+b b+c & c+d
e igualamos a cada Eij para determinar (a,b,c,d).

Passo 3

Para E11=1&00&0 impomos
a=1, a+b=0, b+c=0, c+d=0,
cuja solução é
(a,b,c,d)=(1,-1,1,-1)
Logo
E11=1,B1-1,B2+1,B3-1,B4

Passo 4

Para
que dá
((a,b,c,d)=(0,1,-1,1)]. Assim

Passo 5

Para
resultando em ((a,b,c,d)=(0,0,1,-1)], ou seja

Passo 6

Para
que dá ((a,b,c,d)=(0,0,0,1)], logo

Passo 7

Reunindo as coordenadas (a,b,c,d) nas colunas de P na ordem (E11,E12,E21,E22), obtemos
P= 1 & 0 & 0 & 0 -1 & 1 & 0 & 0 1 & -1 & 1 & 0 -1 & 1 & -1 & 1

Resposta

A matriz de mudança de base de C para B é
1 & 0 & 0 & 0 -1 & 1 & 0 & 0 1 & -1 & 1 & 0 -1 & 1 & -1 & 1

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