Sejam B=(ll1 & 1 0 & 0),(ll0 & 1 1 & 0),(ll0 & 0 1 & 1),(ll0 & 0 0 & 1) e C bases de M(2, C), sendo C a base canônica. Determine:
A matriz de mudança da base B para C.

Passo 1

O enunciado define a base
B=l1&10&0,0&11&0,0&01&1,0&00&1r
e a base canônica
C=E11,E12,E21,E22
de M(2, C). Precisamos encontrar a matriz de mudança de base de B para C, isto é, a matriz que leva coordenadas em B para coordenadas em C.

Passo 2

Na base canônica cada Eij corresponde ao vetor canônico em C^4 com 1 na posição (i,j) e 0 nas demais. Adotamos a ordem
(E11,E12,E21,E22),
de modo que uma matriz A=(aij) tem coordenadas (a11,a12,a21,a22).

Passo 3

Expressamos cada vetor de B em função de Eij:
B1=1&10&0=E11+E12\quad\Rightarrow\quad(1,1,0,0)
B2=0&11&0=E12+E21\quad\Rightarrow\quad(0,1,1,0)
B3=0&01&1=E21+E22\quad\Rightarrow\quad(0,0,1,1)
B4=0&00&1=E22\quad\Rightarrow\quad(0,0,0,1)

Passo 4

A matriz de mudança de base P Bto C tem como j-ésima coluna o vetor de coordenadas de Bj na base C. Logo montamos
P Bto C = 1 & 0 & 0 & 0 1 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & 1

Resposta

P Bto C = 1 & 0 & 0 & 0 1 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & 1

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