Sejam B=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1), C=(1,1,0),(0,1,1),(1,1,1) bases de R^3 e T: R^3 R^3 a transformação linear definida por
T(x, y, z)=(x-y,-x+y+z, y-2 z)
Calcule [T]B^B e [T]C^B.

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
T(x,y,z) = (x - y,;-x + y + z,;y - 2z)
em R^3 e pede duas matrizes de T:
[T]B^B, ou seja, tanto domínio quanto contradomínio na base padrão B=e1,e2,e3.
[T]C^B, isto é, domínio na base C e contradomínio em B.
Para qualquer base, basta calcular as imagens dos vetores dessa base e expressá-los nas coordenadas da base de chegada.

Passo 2

Para [T]B^B usamos e1=(1,0,0), e2=(0,1,0), e3=(0,0,1).
T(1,0,0) = (1-0,,-1+0+0,;0-0) = (1,-1,0), T(0,1,0) = (0-1,,-0+1+0,;1-0) = (-1,1,1),
T(0,0,1) = (0-0,,-0+0+1,;0-2) = (0,1,-2)
Colocando essas colunas em B, obtemos
[T]B^B = 1 & -1 & 0 -1 & 1 & 1 0 & 1 & -2

Passo 3

Para [T]C^B usamos os vetores de C=v1,v2,v3 com
v1=(1,1,0), v2=(0,1,1), v3=(1,1,1)
Calculemos
T(v1) = T(1,1,0) = (0,0,1), T(v2) = T(0,1,1) = (-1,2,-1),
T(v3) = T(1,1,1) = (0,1,-1)
Essas coordenadas já estão na base padrão B, então
[T]C^B = 0 & -1 & 0 0 & 2 & 1 1 & -1 & -1

Resposta

[T]B^B = 1 & -1 & 0 -1 & 1 & 1 0 & 1 & -2 \quad [T]C^B = 0 & -1 & 0 0 & 2 & 1 1 & -1 & -1

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