Sejam B=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1), C=(1,1,0),(0,1,1),(1,1,1) bases de R^3 e T: R^3 R^3 a transformação linear definida por
T(x, y, z)=(x-y,-x+y+z, y-2 z)
Calcule [u]C e [v]C, sendo u=(0,2,1) e v=(4,2,-1).

Passo 1

O enunciado fornece a base C=(1,1,0),(0,1,1),(1,1,1) em R^3 e pede as coordenadas de u e v nessa base. Para isso, lembramos que um vetor x tem coordenadas [x]C=(alpha,beta,gamma) se
alpha,c1+beta,c2+gamma,c3=x,
onde c1,c2,c3 são os vetores de C.

Passo 2

Denotemos
c1=(1,1,0), c2=(0,1,1) e c3=(1,1,1).
Para u=(0,2,1) buscamos (alpha,beta,gamma) tais que
alpha,c1+beta,c2+gamma,c3=(0,2,1)
Isso gera o sistema
alpha + gamma = 0 alpha + beta + gamma = 2 beta + gamma = 1

Passo 3

Da primeira equação vem alpha=-gamma e da terceira beta=1-gamma. Substituindo na segunda:
(-gamma)+(1-gamma)+gamma=2 Rightarrow -gamma+1=2 Rightarrow gamma=-1
Logo alpha=1 e beta=2, e
[u]C=(1,2,-1)

Passo 4

Para
De na segunda equação:
, e

Resposta

[u]C=(1,2,-1)
[v]C=(3,-2,1)

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