Sejam T: R^2 R^3 e R: R^3 R^2, definidas por
T(x, y)=(x-y, x+y, 2 x+3 y) e R(x, y, z)=(x+y, y-z)
Calcule [T]C^B e [R]B^C nos seguintes casos
B=(1,1),(1,-1) e C=(1,1,-1),(1,0,-1),(0,1,-1).

Passo 1

O enunciado define duas transformações lineares
TcolonR^2toR^3, T(x,y)=(x-y,;x+y,;2x+3y)
RcolonR^3toR^2, R(x,y,z)=(x+y,;y-z)
e nos pede as matrizes de T e R nas bases
B=(1,1),(1,-1) em R^2 e
C=(1,1,-1),(1,0,-1),(0,1,-1) em R^3.
Para [T]C^B vamos calcular T(bj) e expressar em C.
Para [R]B^C vamos calcular R(cj) e expressar em B.

Passo 2

Calcular as imagens dos vetores de B por T:
Para b1=(1,1):
T(1,1)=(1-1,;1+1,;2cdot1+3cdot1)=(0,2,5)
Para b2=(1,-1):
T(1,-1)=(1-(-1),;1+(-1),;2cdot1+3cdot(-1))=(2,0,-1)

Passo 3

Expressar (0,2,5) e (2,0,-1) na base C=c1,c2,c3 onde
c1=(1,1,-1), c2=(1,0,-1), c3=(0,1,-1)
Resolvendo
(0,2,5)=alpha c1+beta c2+gamma c3
vem alpha=7, beta=-7, gamma=-5.
E
(2,0,-1)=alpha c1+beta c2+gamma c3
alpha=1, beta=1, gamma=-1.

Passo 4

As colunas de [T]C^B são esses vetores de coordenadas, logo
[T]C^B = 7 & 1 -7 & 1 -5 & -1

Passo 5

Calcular as imagens dos vetores de C por R:
Para c1=(1,1,-1):
R(1,1,-1)=(1+1,;1-(-1))=(2,2)
Para c2=(1,0,-1):
R(1,0,-1)=(1+0,;0-(-1))=(1,1)
Para c3=(0,1,-1):
R(0,1,-1)=(0+1,;1-(-1))=(1,2)

Passo 6

Expressar (2,2), (1,1), (1,2) na base B=b1,b2 onde b1=(1,1), b2=(1,-1).
Resolvendo
(2,2)=u,b1+v,b2
vem u=2, v=0.
Para
(1,1)=u,b1+v,b2
vem u=1, v=0.
Para
(1,2)=u,b1+v,b2
vem u=tfrac32, v=-tfrac12.

Passo 7

As colunas de [R]B^C são esses vetores de coordenadas, logo
[R]B^C = 2 & 1 & tfrac32 0 & 0 & -tfrac12

Resposta

[T]C^B = 7 & 1 -7 & 1 -5 & -1 , [R]B^C = 2 & 1 & tfrac32 0 & 0 & -tfrac12

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