Sejam B=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1), C=(1,1,0),(0,1,1),(1,1,1) bases de R^3 e T: R^3 R^3 a transformação linear definida por
T(x, y, z)=(x-y,-x+y+z, y-2 z)
Use o item anterior para calcular [T(u)]C e [T(v)]C, sendo u=(0,2,1) e v=(4,2,-1).

Passo 1

O enunciado dá duas bases de R^3: a canônica B=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) e
C=c1=(1,1,0),,c2=(0,1,1),,c3=(1,1,1), além da transformação linear
T(x,y,z)=(x-y,;-x+y+z,;y-2z)
Queremos encontrar as coordenadas de T(u) e T(v) na base C, onde u=(0,2,1) e v=(4,2,-1). Para isso vamos (i) calcular T(u) e T(v) em coordenadas canônicas e (ii) resolver o sistema que expressa um vetor em coordenadas canônicas como combinação linear de c1,c2,c3.

Passo 2

Calcular T(u) e T(v) em coordenadas canônicas aplicando diretamente a fórmula de T.
Para u=(0,2,1):
T(u)=l(0-2,;-0+2+1,;2-2cdot1r)=(-2,;3,;0)
Para v=(4,2,-1):
T(v)=l(4-2,;-4+2+(-1),;2-2cdot(-1)r)=(2,;-3,;4)

Passo 3

Para achar de um vetor , escrevemos
isto é,
Isso leva ao sistema
Resolvendo, obtemos as fórmulas gerais

Passo 4

Aplicar essas fórmulas a T(u)=(-2,3,0). Aqui b1=-2, b2=3, b3=0, então
alpha1=3-0=3, alpha2=3-(-2)=5, alpha3=-2+0-3=-5
Logo
[T(u)]C=(3,;5,;-5)

Passo 5

Aplicar as fórmulas a T(v)=(2,-3,4). Aqui b1=2, b2=-3, b3=4, então
alpha1=-3-4=-7, alpha2=-3-2=-5, alpha3=2+4-(-3)=9
Logo
[T(v)]C=(-7,;-5,;9)

Resposta

[T(u)]C=(3,5,-5)
[T(v)]C=(-7,-5,9)

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