Sejam B=1+x, x+x^2, x^2+x^3, x^3 e C bases de R[x]3, sendo C a base canônica. Determine:
A matriz de mudança da base C para B.

Passo 1

O enunciado dá a base canônica
C=1,x,x^2,x^3
e a base
B=,1+x,;x+x^2,;x^2+x^3,;x^3
de R[x]3, e pede a matriz de mudança de coordenadas PCtoB tal que, para qualquer polinômio p,
[p]B = PCtoB,[p]C
Sabemos que as colunas de PCtoB são as coordenadas em B dos vetores de C.

Passo 2

Seja um polinômio genérico
p(t)=p0 + p1t + p2t^2 + p3t^3
Se quisermos
p(t) = a1(1+x) + a2(x+x^2) + a3(x^2+x^3) + a4(x^3),
então, igualando coeficientes em 1,x,x^2,x^3, obtemos o sistema
a1 = p0, a1 + a2 = p1, a2 + a3 = p2, a3 + a4 = p3
Daí
a1 = p0, a2 = p1 - p0, a3 = p2 - p1 + p0, a4 = p3 - p2 + p1 - p0

Passo 3

Agora aplicamos isso aos vetores da base canônica:
— Para 1, temos (p0,p1,p2,p3)=(1,0,0,0), logo
[a] B = (a1,a2,a3,a4) = (1,;0-1,;0-0+1,;0-0+0-1) = (1,-1,1,-1)
— Para x, temos (0,1,0,0), logo
[x]B =(0,;1-0,;0-1+0,;0-0+1-0) =(0,1,-1,1)
— Para x^2, (0,0,1,0), dá
[x^2]B =(0,;0-0,;1-0+0,;0-1+0-0) =(0,0,1,-1)
— Para x^3, (0,0,0,1), dá
[x^3]B =(0,0,0,1)

Passo 4

As colunas de PCtoB são justamente estes vetores, na ordem [1]B,[x]B,[x^2]B,[x^3]B. Assim,
PCtoB = 1 & 0 & 0 & 0 -1& 1 & 0 & 0 1 & -1& 1 & 0 -1& 1 & -1& 1

Resposta

PCtoB = 1 & 0 & 0 & 0 -1& 1 & 0 & 0 1 & -1& 1 & 0 -1& 1 & -1& 1

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