Sejam
e
bases de
, sendo
a base canônica. Determine:
A matriz de mudança da base
para
.
A matriz de mudança da base
Passo 1
O enunciado dá a base canônica
e a base
de , e pede a matriz de mudança de coordenadas
tal que, para qualquer polinômio
,
e a base
de
Sabemos que as colunas de
são as coordenadas em
dos vetores de
.
Passo 2
Seja um polinômio genérico
Se quisermos
então, igualando coeficientes em
, obtemos o sistema
Daí
Passo 3
Agora aplicamos isso aos vetores da base canônica:
— Para
1 , temos
(p0,p1,p2,p3)=(1,0,0,0) , logo
— Para
x , temos
(0,1,0,0) , logo
— Para
x^2 ,
(0,0,1,0) , dá
— Para
x^3 ,
(0,0,0,1) , dá
Passo 4
As colunas de
PCtoB são justamente estes vetores, na ordem
[1]B,[x]B,[x^2]B,[x^3]B . Assim,