Verdadeiro ou falso? Justifique suas respostas.
Se
é uma transformação linear injetora, então a matriz de
em relação quaisquer bases de
e
é inversível.
Se
Passo 1
O enunciado trata de uma transformação linear
,
que é injetora, e pergunta se a matriz de em relação a quaisquer bases de
e de
é inversível.
O conteúdo aqui envolve dimensão de espaços vetoriais, matriz de transformação linear e as condições para uma matriz ser inversível.
que é injetora, e pergunta se a matriz de
O conteúdo aqui envolve dimensão de espaços vetoriais, matriz de transformação linear e as condições para uma matriz ser inversível.
Passo 2
Seja
uma base de
e
uma base de
.
Então a matriz de relativa a essas bases é de ordem
Então a matriz de
pois tem 4 linhas (dimensão do codomínio) e 3 colunas (dimensão do domínio).
Passo 3
Como
é injetora,
e, pelo Teorema da Dimensão,
Logo a matriz tem posto máximo igual a 3 (todas as colunas são linearmente independentes).
Passo 4
Para uma matriz ser inversível ela precisa ser quadrada e ter posto igual à sua ordem. Aqui a matriz é
, isto é, não é quadrada, portanto não pode ter inversa no sentido usual.
Resposta
Falso. A matriz de
sempre será de ordem
e, por não ser quadrada, não pode ser inversível.