Verdadeiro ou falso? Justifique suas respostas.
Se T: R^3 M2(R) é uma transformação linear injetora, então a matriz de T em relação quaisquer bases de R^3 e M2(R) é inversível.

Passo 1

O enunciado trata de uma transformação linear
;T: R^3to M2(R),
que é injetora, e pergunta se a matriz de T em relação a quaisquer bases de R^3 e de M2(R) é inversível.
O conteúdo aqui envolve dimensão de espaços vetoriais, matriz de transformação linear e as condições para uma matriz ser inversível.

Passo 2

Seja B=v1,v2,v3 uma base de R^3 e C=w1,w2,w3,w4 uma base de M2(R).
Então a matriz de T relativa a essas bases é de ordem
4times3,
pois tem 4 linhas (dimensão do codomínio) e 3 colunas (dimensão do domínio).

Passo 3

Como T é injetora, ker T=0 e, pelo Teorema da Dimensão,
dim(ImT)=dim(R^3)-dim(ker T)=3-0=3
Logo a matriz tem posto máximo igual a 3 (todas as colunas são linearmente independentes).

Passo 4

Para uma matriz ser inversível ela precisa ser quadrada e ter posto igual à sua ordem. Aqui a matriz é 4times3, isto é, não é quadrada, portanto não pode ter inversa no sentido usual.

Resposta

Falso. A matriz de T sempre será de ordem 4times3 e, por não ser quadrada, não pode ser inversível.

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