Verdadeiro ou falso? Justifique suas respostas.
Seja V é um espaço vetorial de dimensão finita e seja T: V V é um operador linear. Então, T é sobrejetor se, e somente se, existe uma base de V tal que a matriz de T em relação a essa base é inversível.

Passo 1

O enunciado diz que V é um espaço vetorial de dimensão finita e Tcolon Vto V é linear. Queremos decidir se
T é sobrejetora”
é equivalente a
“existe uma base de V tal que a matriz de T nessa base é invertível”.
Vamos usar o Teorema do posto-nulidade e o fato de que um operador linear é invertível se, e somente se, sua matriz em alguma (ou qualquer) base é invertível.

Passo 2

Suponha T sobrejetora. Como dim V<infty, o Teorema do posto-nulidade dá
dim V = rank(T) + nullity(T)
Se T é sobrejetora, rank(T)=dim V, logo nullity(T)=0. Assim T é injetora, portanto bijetora e invertível como transformação linear. Logo, em qualquer base de V (e em particular em alguma base), a matriz de T é invertível.

Passo 3

Reciprocamente, se existe uma base B de V tal que a matriz [T]B é invertível, então [T]Bcolon K^ntoK^n é um isomorfismo de espaços vetoriais de mesma dimensão. Isso implica que T é bijetora e, em particular, sobrejetora.

Resposta

Verdadeiro.

Exercícios relacionados