Verdadeiro ou falso? Justifique suas respostas.
Seja
é um espaço vetorial de dimensão finita e seja
é um operador linear. Então,
é sobrejetor se, e somente se, existe uma base de
tal que a matriz de
em relação a essa base é inversível.
Seja
Passo 1
O enunciado diz que
é um espaço vetorial de dimensão finita e
é linear. Queremos decidir se
“ é sobrejetora”
é equivalente a
“existe uma base de tal que a matriz de
nessa base é invertível”.
Vamos usar o Teorema do posto-nulidade e o fato de que um operador linear é invertível se, e somente se, sua matriz em alguma (ou qualquer) base é invertível.
“
é equivalente a
“existe uma base de
Vamos usar o Teorema do posto-nulidade e o fato de que um operador linear é invertível se, e somente se, sua matriz em alguma (ou qualquer) base é invertível.
Passo 2
Suponha
sobrejetora. Como
, o Teorema do posto-nulidade dá
Se
é sobrejetora,
, logo
. Assim
é injetora, portanto bijetora e invertível como transformação linear. Logo, em qualquer base de
(e em particular em alguma base), a matriz de
é invertível.
Passo 3
Reciprocamente, se existe uma base
de
tal que a matriz
é invertível, então
é um isomorfismo de espaços vetoriais de mesma dimensão. Isso implica que
é bijetora e, em particular, sobrejetora.
Resposta
Verdadeiro.