Sejam
A=(3,4,0); B=(3,6,0); C=(1,4,0); D=(1,6,0); E=(3,4,2); F=(3,6,2); G=(1,4,2); H=(1,6,2);
Calcule
Calcule a área do paralelogramo A B C D, usando vetores

Passo 1

O enunciado fornece os vértices do paralelogramo A B C D no plano xy:
A=(3,4,0), B=(3,6,0), C=(1,4,0), D=(1,6,0)
Queremos a área desse paralelogramo usando vetores no espaço. Para isso, lembramos que, se vec u e vec v são vetores que representam dois lados adjacentes, então
área = |vec utimes vec v| á

Passo 2

Escolhemos como vetores de lados adjacentes AB e AD. Calculamos
AB = B - A = (3,6,0)-(3,4,0) = (0,2,0),
AD = D - A = (1,6,0)-(3,4,0) = (-2,2,0)

Passo 3

Calculamos o produto vetorial
ABtimes AD = (0,2,0)times(-2,2,0)
Usando a fórmula (a,b,c)times(d,e,f)=(bf-ce,;cd-af,;ae-bd), obtemos
(0,2,0)times(-2,2,0) =(2cdot0 - 0cdot2,;0cdot(-2)-0cdot0,;0cdot2-2cdot(-2)) =(0,0,4)

Passo 4

A área é o módulo do vetor resultante:
|,(0,0,4),| = raiz0^2+0^2+4^2 = 4

Resposta

A área do paralelogramo ABCD é 4.

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