Sejam a, b \in \mathbb{Z}_{+}. Mostrar que (a+b)^{3} \leq 4\left(a^{3}+b^{3}\right).

Passo 1

O enunciado dá que a,b\in\mathbb{Z}_{+} (números inteiros positivos) e pede para mostrar a desigualdade
(a+b)^{3} \leq 4\bigl(a^{3}+b^{3}\bigr).
Informações relevantes: temos a e b positivos; queremos provar uma desigualdade envolvendo potências de grau 3.

Passo 2

Começo por expandir o cubo do somatório para obter uma expressão que possamos comparar com 4(a^{3}+b^{3}).
(a+b)^{3} = a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}.
Agrupando termos, escrevo
(a+b)^{3}=a^{3}+b^{3}+3ab(a+b).

Passo 3

A desigualdade original é equivalente a
a^{3}+b^{3}+3ab(a+b)\le 4\bigl(a^{3}+b^{3}\bigr).
Subtraindo a^{3}+b^{3} dos dois lados obtemos a forma mais simples a verificar:
3ab(a+b)\le 3\bigl(a^{3}+b^{3}\bigr),
ou seja, dividindo por 3>0,
ab(a+b)\le a^{3}+b^{3}.

Passo 4

Para ver que ab(a+b)\le a^{3}+b^{3} é verdadeiro, calculo a diferença entre o lado direito e o esquerdo e fatoro-a:
a^{3}+b^{3}-ab(a+b)=a^{3}+b^{3}-a^{2}b-ab^{2}.
Agrupando em dois termos:
a^{3}-a^{2}b \;+\; b^{3}-ab^{2}=a^{2}(a-b)+b^{2}(b-a).
Colocando (a-b) em evidência:
a^{2}(a-b)+b^{2}(b-a)=(a-b)(a^{2}-b^{2}).
E como a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b), segue
a^{3}+b^{3}-ab(a+b)=(a-b)^{2}(a+b).

Passo 5

Agora uso propriedades elementares: (a-b)^{2}\ge 0 para quaisquer a,b\in\mathbb{Z}, e a+b>0 pois a,b\in\mathbb{Z}_{+}. Logo
(a-b)^{2}(a+b)\ge 0,
o que implica
a^{3}+b^{3}-ab(a+b)\ge 0.
Assim ab(a+b)\le a^{3}+b^{3}, e retrocedendo pelos passos anteriores, obtemos
(a+b)^{3}\le 4\bigl(a^{3}+b^{3}\bigr).

Passo 6

Observação final (condição de igualdade): a diferença que fatoramos é (a-b)^{2}(a+b). Para que haja igualdade é necessário e suficiente que (a-b)^{2}(a+b)=0. Como a+b>0, isso ocorre exatamente quando (a-b)^{2}=0, ou seja, quando a=b.

Resposta

(a+b)^{3}\le 4\bigl(a^{3}+b^{3}\bigr).
Igualdade ocorre se, e só se, a=b.

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