Sejam
. Mostrar que
.
Passo 1
O enunciado dá que
(números inteiros positivos) e pede para mostrar a desigualdade
Informações relevantes: temos
e
positivos; queremos provar uma desigualdade envolvendo potências de grau 3.
Passo 2
Começo por expandir o cubo do somatório para obter uma expressão que possamos comparar com
.
Agrupando termos, escrevo
Passo 3
A desigualdade original é equivalente a
Subtraindo
dos dois lados obtemos a forma mais simples a verificar:
ou seja, dividindo por
,
Passo 4
Para ver que
é verdadeiro, calculo a diferença entre o lado direito e o esquerdo e fatoro-a:
Agrupando em dois termos:
Colocando
em evidência:
E como
, segue
Passo 5
Agora uso propriedades elementares:
para quaisquer
, e
pois
. Logo
o que implica
Assim
, e retrocedendo pelos passos anteriores, obtemos
Passo 6
Observação final (condição de igualdade): a diferença que fatoramos é
. Para que haja igualdade é necessário e suficiente que
. Como
, isso ocorre exatamente quando
, ou seja, quando
.
Resposta
Igualdade ocorre se, e só se,
.