Sejam A, B, C e D, vértices de um paralelogramo A B C D. Sendo A(-1,0) e A C=(7,4) e B D=(3,-4) suas diagonais, determine os outros vértices B, C e D.

Passo 1

O enunciado dá os vértices A,B,C,D de um paralelogramo ABCD, com
A = (-1,0),
AC = (7,4) e BD = (3,-4).
O conteúdo é geometria analítica e operações com vetores; em particular, usaremos a propriedade de que as diagonais de um paralelogramo se bissetam, isto é, compartilham o mesmo ponto médio.

Passo 2

Para obter C, basta somar o vetor AC a A:
C = A + AC = (-1,0) + (7,4) = (6,4)

Passo 3

Calcule o ponto médio M da diagonal AC:
M = A + C2 = (-1,0) + (6,4)2 = l(tfrac52,,2r)

Passo 4

Como as diagonais se bissetam, M também é o ponto médio de BD. Sejam B e D desconhecidos, mas sabendo que BD=(3,-4), temos
D = B + BD
E
M = B + D2 = B + (B + BD)2 = B + BD2
Dessa igualdade isolamos B:
B = M - BD2 = l(tfrac52,2r) - l(tfrac32,-2r) = (1,4)

Passo 5

Tendo B=(1,4), encontramos D usando BD:
D = B + BD = (1,4) + (3,-4) = (4,0)

Resposta

B=(1,4)
C=(6,4)
D=(4,0)

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