Um vetor w do R^3 forma com os eixos Ox e Oy , ângulos de 60^circ e 120^circ, respectivamente. Determine w para que ele tenha módulo igual a 2.
Resp: w=(1,-1, raiz2) ou w=(1,-1,-raiz2)

Passo 1

O enunciado pede um vetor w=(w1,w2,w3)inR^3 de módulo igual a 2 que forma ângulo de 60^circ com o eixo Ox e ângulo de 120^circ com o eixo Oy. Para resolver vamos usar o conceito de cossenos diretores: se alpha é o ângulo entre w e o eixo Ox, então
cosalpha = wcdot(1,0,0)|w| = w1|w|,
e de modo análogo para o eixo Oy.

Passo 2

Como |w|=2 e o ângulo com Ox é 60^circ, temos
w1 = |w|cos60^circ = 2cdot12 = 1
Para o eixo Oy, com ângulo 120^circ,
w2 = |w|cos120^circ = 2cdotl(-tfrac12r) = -1

Passo 3

Resta encontrar w3 usando a condição do módulo
|w|^2 = w1^2 + w2^2 + w3^2 Longrightarrow 4 = 1^2 + (-1)^2 + w3^2 Longrightarrow w3^2 = 2

Passo 4

Da equação w3^2=2 segue
w3 = pmraiz2
Portanto há duas soluções para w.

Resposta

w=(1,,-1,,raiz2) ou w=(1,,-1,,-raiz2).

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