Suponha que a probabilidade de que você faça uma venda durante qualquer um dos telefonemas feitos é 0,20 . Encontre a probabilidade de que você:
faça sua primeira venda durante a primeira, segunda ou terceira ligação;

Passo 1

O enunciado dá a seguinte informação (vou escrever exatamente o que temos):
  • A probabilidade de fazer uma venda em qualquer ligação é p=0,20.
  • Presume-se que cada ligação é independente e tem a mesma probabilidade p.
O que o enunciado pede:
  • A probabilidade de que a primeira venda ocorra na primeira ligação.
  • A probabilidade de que a primeira venda ocorra na segunda ligação.
  • A probabilidade de que a primeira venda ocorra na terceira ligação.

Passo 2

Modelo e fórmula que vamos usar (explicação didática):
  • Cada ligação é um ensaio de Bernoulli: tem apenas dois resultados relevantes — “sucesso” (fazer a venda) com probabilidade p e “falha” (não fazer a venda) com probabilidade 1-p.
  • A variável aleatória X = número da ligação em que ocorre a primeira venda segue a distribuição geométrica (no sentido “contar até o primeiro sucesso”).
  • A fórmula da probabilidade de primeiro sucesso em k-ésima ligação é:
P(X=k)=(1-p)^{\,k-1}\,p.
Por que essa fórmula? Porque para que o primeiro sucesso ocorra exatamente na ligação k é necessário que as primeiras k-1 ligações sejam falhas (cada uma com probabilidade 1-p) e a k-ésima seja sucesso (probabilidade p). Como os ensaios são independentes, multiplica-se: (1-p)^{k-1}\cdot p.
Aqui p é a probabilidade de sucesso em um ensaio, e k é um inteiro positivo (1,2,3,…).

Passo 3

Cálculo para a primeira ligação ( k=1):
  • Aplicando a fórmula com k=1:
P(X=1)=(1-p)^{\,1-1}\,p=(1-p)^{0}\,p=p.
  • Substituindo p=0,20:
P(X=1)=0,20.
Interpretação simples: fazer a primeira venda na primeira ligação significa ter sucesso já na primeira tentativa; a probabilidade é exatamente p.

Passo 4

Cálculo para a segunda ligação ( k=2):
  • Pela fórmula:
P(X=2)=(1-p)^{\,2-1}\,p=(1-p)\,p.
  • Substituindo p=0,20 e calculando passo a passo:
1-p=1-0,20=0,80,
P(X=2)=0,80\cdot 0,20=0,16.
Interpretação: é necessário falhar na primeira ( 0,80) e ter sucesso na segunda ( 0,20); multiplicando dá 0,16.

Passo 5

Cálculo para a terceira ligação ( k=3):
  • Pela fórmula:
P(X=3)=(1-p)^{\,3-1}\,p=(1-p)^{2}\,p.
  • Substituindo p=0,20:
(1-p)=0,80,\quad (1-p)^{2}=0,80^{2}=0,64,
P(X=3)=0,64\cdot 0,20=0,128.
Interpretação: falhar nas duas primeiras ( 0,80\cdot0,80=0,64) e ter sucesso na terceira ( 0,20).

Passo 6

Verificação (opcional, para consolidar a intuição):
  • A probabilidade de que a primeira venda ocorra em uma das três primeiras ligações é a soma:
P(X\le 3)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=0,20+0,16+0,128=0,488.
Isso faz sentido: quase metade das vezes a primeira venda acontece nas três primeiras ligações, dado p=0,20.

Resposta

Primeira ligação: 0,20
Segunda ligação: 0,16
Terceira ligação: 0,128

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