Suponha que a probabilidade de que você faça uma venda durante qualquer um dos telefonemas feitos é 0,20 . Encontre a probabilidade de que você:
faça sua primeira venda durante a primeira, segunda ou terceira ligação;
faça sua primeira venda durante a primeira, segunda ou terceira ligação;
Passo 1
O enunciado dá a seguinte informação (vou escrever exatamente o que temos):
- A probabilidade de fazer uma venda em qualquer ligação é
. - Presume-se que cada ligação é independente e tem a mesma probabilidade
.
O que o enunciado pede:
- A probabilidade de que a primeira venda ocorra na primeira ligação.
- A probabilidade de que a primeira venda ocorra na segunda ligação.
- A probabilidade de que a primeira venda ocorra na terceira ligação.
Passo 2
Modelo e fórmula que vamos usar (explicação didática):
- Cada ligação é um ensaio de Bernoulli: tem apenas dois resultados relevantes — “sucesso” (fazer a venda) com probabilidade
e “falha” (não fazer a venda) com probabilidade . - A variável aleatória
= número da ligação em que ocorre a primeira venda segue a distribuição geométrica (no sentido “contar até o primeiro sucesso”). - A fórmula da probabilidade de primeiro sucesso em
-ésima ligação é:
Por que essa fórmula? Porque para que o primeiro sucesso ocorra exatamente na ligação
é necessário que as primeiras
ligações sejam falhas (cada uma com probabilidade
) e a
-ésima seja sucesso (probabilidade
). Como os ensaios são independentes, multiplica-se:
.
Aqui
é a probabilidade de sucesso em um ensaio, e
é um inteiro positivo (1,2,3,…).
Passo 3
Cálculo para a primeira ligação (
):
- Aplicando a fórmula com
:
- Substituindo
:
Interpretação simples: fazer a primeira venda na primeira ligação significa ter sucesso já na primeira tentativa; a probabilidade é exatamente
.
Passo 4
Cálculo para a segunda ligação (
):
- Pela fórmula:
- Substituindo
e calculando passo a passo:
Interpretação: é necessário falhar na primeira (
) e ter sucesso na segunda (
); multiplicando dá
.
Passo 5
Cálculo para a terceira ligação (
):
- Pela fórmula:
- Substituindo
:
Interpretação: falhar nas duas primeiras (
) e ter sucesso na terceira (
).
Passo 6
Verificação (opcional, para consolidar a intuição):
- A probabilidade de que a primeira venda ocorra em uma das três primeiras ligações é a soma:
Isso faz sentido: quase metade das vezes a primeira venda acontece nas três primeiras ligações, dado
.
Resposta
Primeira ligação:
Segunda ligação:
Terceira ligação:
Segunda ligação:
Terceira ligação: