Sejam A, B e C eventos do mesmo espaço amostral Ω. Verifique que:
(b) A \cap A^{c}=\emptyset;

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos, usando a definição de complemento de um evento, que
A \cap A^{c} = \emptyset.
O conteúdo envolve noções básicas de teoria de conjuntos: definição de complemento e propriedades de interseção.

Passo 2

Pela definição,
A^{c} = \{\omega\in\Omega \mid \omega\notin A\}.
Suponha, para obter contradição, que exista \omega tal que
\omega \in A \cap A^{c}.
Então, por definição de interseção, teríamos simultaneamente
\omega \in A \quad\text{e}\quad \omega \in A^{c}.
Mas \omega \in A^{c} significa \omega\notin A, o que contradiz \omega\in A. Logo não existe nenhum \omega em A\cap A^{c}.

Resposta

A \cap A^{c} = \emptyset.

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