Sejam A, B e C eventos do mesmo espaço amostral Ω. Verifique que:
(c) (A \cap B) \cup C=(A \cup C) \cap(B \cup C);

Passo 1

O enunciado pede para verificar a igualdade de conjuntos
(A \cap B) \cup C = (A \cup C) \cap (B \cup C)
Isso é uma propriedade distributiva de união e interseção em teoria de conjuntos. Vamos mostrar as duas inclusões mútua, ou seja,
(A \cap B) \cup C \subseteq (A \cup C) \cap (B \cup C) \quad\text{e}\quad (A \cup C) \cap (B \cup C)\subseteq (A \cap B) \cup C.

Passo 2

Prova de \displaystyle (A \cap B) \cup C \subseteq (A \cup C) \cap (B \cup C).
Seja x\in (A \cap B)\cup C. Há dois casos:
  • Se x\in C, então claramente x\in A\cup C e x\in B\cup C, logo
x\in (A\cup C)\cap(B\cup C).
  • Se x\in A\cap B, então x\in A e x\in B. Daí x\in A\cup C e x\in B\cup C, e novamente
x\in (A\cup C)\cap(B\cup C).
Em ambos os casos x\in (A\cup C)\cap(B\cup C), o que prova a inclusão desejada.

Passo 3

Prova de \displaystyle (A \cup C) \cap (B \cup C)\subseteq (A \cap B) \cup C.
Seja x\in (A\cup C)\cap(B\cup C). Então x\in A\cup C e x\in B\cup C. Novamente há dois casos:
  • Se x\in C, então x\in (A\cap B)\cup C diretamente.
  • Se x\notin C, como x\in A\cup C segue x\in A, e como x\in B\cup C segue x\in B. Logo x\in A\cap B, e assim x\in (A\cap B)\cup C.
    Em qualquer situação x\in (A\cap B)\cup C, provando a segunda inclusão.

Passo 4

Como mostramos ambas as inclusões
(A \cap B) \cup C \subseteq (A \cup C) \cap (B \cup C) \quad\text{e}\quad (A \cup C) \cap (B \cup C)\subseteq (A \cap B) \cup C,
concluímos que
(A \cap B) \cup C = (A \cup C) \cap (B \cup C).

Resposta

(A \cap B) \cup C = (A \cup C) \cap (B \cup C).

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