Sejam A, B e C eventos do mesmo espaço amostral
. Verifique que:
(c)
;
(c)
Passo 1
O enunciado pede para verificar a igualdade de conjuntos
Isso é uma propriedade distributiva de união e interseção em teoria de conjuntos. Vamos mostrar as duas inclusões mútua, ou seja,
Passo 2
Prova de
.
Seja . Há dois casos:
Seja
- Se
, então claramente e , logo
- Se
, então e . Daí e , e novamente
Em ambos os casos
, o que prova a inclusão desejada.
Passo 3
Prova de
.
Seja . Então
e
. Novamente há dois casos:
Seja
- Se
, então diretamente. - Se
, como segue , e como segue . Logo , e assim .
Em qualquer situação, provando a segunda inclusão.
Passo 4
Como mostramos ambas as inclusões
concluímos que