Sejam A, B e C eventos do mesmo espaço amostral Ω. Verifique que:
(a) A \cup A^{c}=Ω;

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, num espaço amostral \,\Omega, a união de um evento A com seu complemento A^c é todo o espaço:
queremos verificar
A\cup A^c = \Omega.
Conteúdo usado: definição de complemento e prova por dupla inclusão.

Passo 2

Provar A\cup A^c\subset \Omega.
Como A\subset \Omega e A^c\subset \Omega por definição de complementaridade dentro de \Omega, qualquer elemento de A\cup A^c está em \Omega. Logo
A\cup A^c\subset \Omega.

Passo 3

Provar \Omega\subset A\cup A^c.
Seja \omega\in \Omega. Dois casos cobrem todas as possibilidades:
  • Se \omega\in A, então \omega\in A\cup A^c.
  • Se \omega\notin A, pela definição de complemento \omega\in A^c, logo \omega\in A\cup A^c.
    Portanto todo \omega\in \Omega está em A\cup A^c, isto é
\Omega\subset A\cup A^c.

Resposta

A\cup A^c = \Omega.

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