Sejam A, B e
eventos de um espaço de probabilidade
tais que
. Calcule:
;
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos três eventos $ A $, $ B $ e $ C $ em um espaço de probabilidade, com as seguintes probabilidades:
- $ P(A) = \frac{1}{2} $
- $ P(B) = \frac{1}{3} $
- $ P© = \frac{1}{4} $
- $ P(A \cap B) = \frac{1}{6} $
- $ P(A \cap C) = \frac{1}{6} $
- $ P(B \cap C) = 0 $
O que a gente precisa calcular é a probabilidade da união desses três eventos, isto é, $ P(A \cup B \cup C) $. Para resolver isso, vamos usar as regras de probabilidade para a união de eventos, que envolvem somar as probabilidades individuais e subtrair as interseções duplas e adicionar a interseção tripla.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula para a probabilidade da união de três eventos:
Essa fórmula serve para evitar contar duas vezes as áreas onde os eventos se sobrepõem.
Passo 3
Agora, vamos inserir os valores que a gente tem na fórmula:
Note que $ P(B \cap C) = 0 $, então aquela parte já vai ser zero.
Passo 4
Além disso, a interseção tripla $ P(A \cap B \cap C) $ também é zero. Isso porque $ P(B \cap C) = 0 $ significa que os eventos $ B $ e $ C $ nunca acontecem juntos, então não tem como os três acontecerem juntos. Portanto, podemos simplificar a expressão para:
Passo 5
Vamos agora somar e subtrair essas frações. Primeiro, vamos encontrar um denominador comum. O menor múltiplo comum de 2, 3, 4 e 6 é 12. Então, vamos converter todas as frações para terem denominador 12:
Substituindo na expressão:
Passo 6
Agora, vamos somar e subtrair os numeradores:
Portanto:
Resposta
A probabilidade $ P(A \cup B \cup C) $ é igual a $ \frac{3}{4} $.