Sejam A, B e C eventos de um espaço de probabilidade (Omega, P) tais que P(A)= ^1 2, P(B)= ^1 3, P(C)= ^1 4, P(A cap B)= ^1, P(A cap C)= 6 e r P(B cap C)=0. Calcule: P(A cup B cup C);

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos três eventos $ A $, $ B $ e $ C $ em um espaço de probabilidade, com as seguintes probabilidades:
  • $ P(A) = \frac{1}{2} $
  • $ P(B) = \frac{1}{3} $
  • $ P© = \frac{1}{4} $
  • $ P(A \cap B) = \frac{1}{6} $
  • $ P(A \cap C) = \frac{1}{6} $
  • $ P(B \cap C) = 0 $
O que a gente precisa calcular é a probabilidade da união desses três eventos, isto é, $ P(A \cup B \cup C) $. Para resolver isso, vamos usar as regras de probabilidade para a união de eventos, que envolvem somar as probabilidades individuais e subtrair as interseções duplas e adicionar a interseção tripla.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula para a probabilidade da união de três eventos:
P(A cup B cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A cap B) - P(A cap C) - P(B cap C) + P(A cap B cap C)
Essa fórmula serve para evitar contar duas vezes as áreas onde os eventos se sobrepõem.

Passo 3

Agora, vamos inserir os valores que a gente tem na fórmula:
P(A cup B cup C) = 12 + 13 + 14 - 16 - 16 - 0 + P(A cap B cap C)
Note que $ P(B \cap C) = 0 $, então aquela parte já vai ser zero.

Passo 4

Além disso, a interseção tripla $ P(A \cap B \cap C) $ também é zero. Isso porque $ P(B \cap C) = 0 $ significa que os eventos $ B $ e $ C $ nunca acontecem juntos, então não tem como os três acontecerem juntos. Portanto, podemos simplificar a expressão para:
P(A cap B cap C)

Passo 5

Vamos agora somar e subtrair essas frações. Primeiro, vamos encontrar um denominador comum. O menor múltiplo comum de 2, 3, 4 e 6 é 12. Então, vamos converter todas as frações para terem denominador 12:
12 = 612, 13 = 412, 14 = 312, 16 = 212
Substituindo na expressão:
P(A cup B cup C) = 612 + 412 + 312 - 212 - 212

Passo 6

Agora, vamos somar e subtrair os numeradores:
6 + 4 + 3 = 13
13 - 2 - 2 = 9
Portanto:
P(A cup B cup C) = 912

Resposta

A probabilidade $ P(A \cup B \cup C) $ é igual a $ \frac{3}{4} $.

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