Verifique se as variáveis aleatórias
e
são independentes quando a densidade conjunta delas forem igual a:
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se as variáveis aleatórias $ X $ e $ Y $ são independentes, dado que a densidade conjunta delas é $ f(x, y) = 24xy $ no intervalo $ 0 < x < 1 $, $ 0 < y < 1 $ e $ 0 < x + y < 1 $. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa independência entre variáveis aleatórias e como encontrar as densidades marginais.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que duas variáveis aleatórias $ X $ e $ Y $ são independentes se a densidade conjunta $ f(x, y) $ for igual ao produto das densidades marginais $ f_X(x) $ e $ f_Y(y) $. Ou seja, se $ f(x, y) = f_X(x) \cdot f_Y(y) $, então são independentes.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a densidade marginal de $ X $, que é $ f_X(x) $. Para isso, integramos a densidade conjunta em relação a $ y $:
Aqui, o limite superior da integral é $ 1 - x $ porque $ x + y < 1 $.
Passo 4
Resolvendo a integral:
Passo 5
De forma semelhante, vamos encontrar a densidade marginal de $ Y $, $ f_Y(y) $. Integramos a densidade conjunta em relação a $ x $:
O limite superior da integral aqui é $ 1 - y $ porque $ x + y < 1 $.
Passo 6
Resolvendo a integral:
Passo 7
Agora que temos $ f_X(x) = 12x(1 - x)^2 $ e $ f_Y(y) = 12y(1 - y)^2 $, vamos multiplicar essas duas funções para ver se elas são iguais à densidade conjunta $ f(x, y) = 24xy $:
Comparando com $ f(x, y) = 24xy $, vemos que não são iguais a menos que $ (1 - x)^2(1 - y)^2 = \frac{24}{144} = \frac{1}{6} $, o que não é geral para todo $ x $ e $ y $ no intervalo dado.
Resposta
As variáveis aleatórias $ X $ e $ Y $ não são independentes, pois a densidade conjunta $ f(x, y) $ não é igual ao produto das densidades marginais $ f_X(x) \cdot f_Y(y) $.