Sejam A, B e C eventos de um espaço de probabilidade (Omega, P) tais que P(A)= ^1 2, P(B)= ^1 3, P(C)= ^1 4, P(A cap B)= ^1, P(A cap C)= 6 e r P(B cap C)=0. Calcule: P(A cap(B cup C));

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a probabilidade de $ A $ acontecer e de pelo menos um entre $ B $ ou $ C $ acontecer. Estamos trabalhando com teoria das probabilidades, especialmente com operações entre eventos como união e interseção. Para resolver isso, vamos precisar das probabilidades individuais dos eventos $ A $, $ B $, $ C $ e das interseções deles.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa $ A \cap (B \cup C) $. Isso representa a probabilidade de $ A $ ocorrer e de pelo menos um entre $ B $ ou $ C $ ocorrer. Na matemática de probabilidades, usamos a propriedade distributiva para expandir essa expressão:
A cap (B cup C)

Passo 3

Agora, queremos calcular $ P((A \cap B) \cup (A \cap C)) $. Para isso, usamos a fórmula da união de dois eventos:
P((A cap B) cup (A cap C))
No nosso caso, $ X = A \cap B $ e $ Y = A \cap C $.

Passo 4

Substituindo na fórmula, temos:
P((A cap B) cup (A cap C)) = P(A cap B) + P(A cap C) - P((A cap B) cap (A cap C))
Observando $ (A \cap B) \cap (A \cap C) = A \cap B \cap C $.

Passo 5

Vamos substituir os valores fornecidos:
  • $ P(A \cap B) = 1 $
  • $ P(A \cap C) = \frac{1}{6} $
  • $ P(A \cap B \cap C) $: Como $ P(B \cap C) = 0 $, isso implica que $ P(A \cap B \cap C) = 0 $ também.
Então:
P(A cap B) = 1

Resposta

A probabilidade $ P(A \cap (B \cup C)) $ é $ \frac{7}{6} $.

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