Sejam A, B e
eventos de um espaço de probabilidade
tais que
. Calcule:
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a probabilidade de $ A $ acontecer e de pelo menos um entre $ B $ ou $ C $ acontecer. Estamos trabalhando com teoria das probabilidades, especialmente com operações entre eventos como união e interseção. Para resolver isso, vamos precisar das probabilidades individuais dos eventos $ A $, $ B $, $ C $ e das interseções deles.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa $ A \cap (B \cup C) $. Isso representa a probabilidade de $ A $ ocorrer e de pelo menos um entre $ B $ ou $ C $ ocorrer. Na matemática de probabilidades, usamos a propriedade distributiva para expandir essa expressão:
Passo 3
Agora, queremos calcular $ P((A \cap B) \cup (A \cap C)) $. Para isso, usamos a fórmula da união de dois eventos:
No nosso caso, $ X = A \cap B $ e $ Y = A \cap C $.
Passo 4
Substituindo na fórmula, temos:
Observando $ (A \cap B) \cap (A \cap C) = A \cap B \cap C $.
Passo 5
Vamos substituir os valores fornecidos:
- $ P(A \cap B) = 1 $
- $ P(A \cap C) = \frac{1}{6} $
- $ P(A \cap B \cap C) $: Como $ P(B \cap C) = 0 $, isso implica que $ P(A \cap B \cap C) = 0 $ também.
Então:
Resposta
A probabilidade $ P(A \cap (B \cup C)) $ é $ \frac{7}{6} $.